重难点专题06 解三角形图形类问题（六大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）(3)

重难点专题06 解三角形图形类问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 03 典型例题 【例1】（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若是内一点，，，，，求． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得 ； ， ，，则； （2），， ； 在中，由正弦定理得：； 在中，由正弦定理得：； ，即， 题型一：妙用两次正弦定理 典型例题 【变式1-1】（2024·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）如图，在梯形中，， ． （1）若，求周长的最大值； （2）若，，求的值． 题型一：妙用两次正弦定理 【解析】（1）在中， ， 因此，当且仅当时取等号．故周长的最大值是． （2）设，则，． 在中，，在中，． 两式相除得，，， 因为， ， ， 故． 典型例题 【例2】（2024·湖北武汉·统考一模）如图，内一点满足． （1）若，求的值； （2）若，求的长． 【解析】（1），此时． 在中，， 又，故 所以 （2）设，在中，． 在中，，代入得：． 又，故． 即，解得：，所以． 题型二：两角使用余弦定理 典型例题 【变式2-1】（2024·广东广州·高三统考阶段练习）记的内角的对边分别为 已知，点D是边AC的中点，． （1）证明：； （2）求： 【解析】（1）由题设，，由正弦定理知：，即， ∴，又，∴，得证． （2）由题意知：，， ∴，同理， ∵， ∴， 整理得， 由余弦定理知： 综上，． 题型二：两角使用余弦定理 典型例题 【变式2-2】（2024·广东深圳·高三红岭中学校考期末）记的三边a，b，c所对的三个内角的大小分别为A，B，C，点D在边AC上．已知，． （1）证明：； （2）若，求． 【解析】（1）因为，所以， 所以，由正弦定理可得，即 因为，所以，因为，所以； （2）因为，如图，在中，，① 在中，．②由①②得，整理得． 设的外接圆半径为，由正弦定理可得， 又，所以所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，．所以． 题型二：两角使用余弦定理 典型例题 【例3】（2024·江西·统考模拟预测）已知中，角的对边分别为，且满足． （1）求的值； （2）若点在边上，平分角，且，求的值． 【解析】（1）由及正弦定理可得， 即， 因为，且，即，所以． （2）因为，所以， 因为平分角，所以， 由，可得， ，整理得，所以． 题型三：张角定理与等面积法 典型例题 【变式3-1】（2024·广东·统考一模）已知△ABC中，分别为内角的对边，且． （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积． 【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：， 由余弦定理得， 又，所以 （2） 是的角平分线，， 由可得 因为，，即有，， 故 题型三：张角定理与等面积法 典型例题 【变式3-2】（2024·贵州黔东南·凯里一中校考一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积． 【解析】（1）因为 所以根据正弦定理得：，即 由余弦定理得：，故 又，所以． （2）因为AD是△ABC的角平分线， 由，得：， 所以 故． 题型三：张角定理与等面积法 典型例题 【例4】（2024·全国·高一专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知． （1）求角C； （2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长． 【解析】（1）由，根据正弦定理可得， 则， 所以，整理得， 因为均为三角形内角，所以， 因此，所以； （2）因为CD是角C的平分线，，，所以在和中， 由正弦定理可得，，，因此，即，所以， 又由余弦定理可得，即，解得，所以， 又，即，即，所以． 题型四：角平分线问题 典型例题 【变式4-1】（2024·江苏南通·高一统考期末）如图，在中，点在边上，为的平分线，． （1）求； （2）若，，求．