第2章 二次函数 分类训练 2023--2024学年人教版九年级数学下册

二次函数压轴题分类训练 1． 平行四边形存在性 1．如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接 (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标． (3)若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．抛物线（）与x轴交于点，两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P在线段上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作，垂足为D，交于点E．作，垂足为F，若点P的横坐标为t，请用t的式子表示，并求△PEF的面积的最大值； (3)如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写下来． 3．如图，平面直角坐标系中，直线y=- x+ 与坐标轴分别交于点A、B，且点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2. （1）求A、C两点的坐标； （2）若点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 2． 面积问题 4．如图，抛物线过点、两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点的坐标，并求出的面积； (3)点是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点的坐标； (4)已知点在直线上运动，点在轴上运动，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时的面积． 5．如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点 ，连接 ， ，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作 轴于点D，交 于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，作 于点P，使 ，以 ， 为邻边作矩形 ．当矩形 的面积是 面积的3倍时，求点P的坐标； （3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线 上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3． 线段长问题 6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+ MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由． 7.如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其对称轴为．过点的直线与抛物线交于另一点． (1)该抛物线的解析式为 ； (2)点是轴上的一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一个点，过点作于．若取得最大值时，求这个最大值： (4)是抛物线对称轴上一点，过点作轴于点．当最短时， 四．角度问题 8.抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点. （1）求点B及点D的坐标. （2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E. ①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标. ②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标. 五．特殊三角形存在性 9.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=2ax2+ax﹣ 经过点B． （1）写出点B的坐标　 　； （2）求抛物线的解析式； （3）若三角板ABC从点C开始以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向平移，求点A落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积； （4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不