重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题（五大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 03 典型例题 【例1】（2024·山东滨州·统考一模）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即． 综上，的取值范围是．故选：C． 题型一：问题（系数为1） 典型例题 【变式1-1】（2024·重庆铜梁·高一统考期末）在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，且， 而， 所以， 即， 由已知，则，选项D正确．故选：D 题型一：问题（系数为1） 典型例题 【变式1-2】如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，设，且， 故， 由图可知 ，因，所以，故AC错； 当时，，点在的右上方，不满足题意，故D错．故选：B． 题型一：问题（系数为1） 典型例题 【例2】（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 令，则， 因为，则，，， 又， 则，则，则， 又，易知为减函数，由单调性易得其值域为．故选：B． 题型二：问题（系数不为1） 典型例题 【变式2-1】（2024·山东潍坊·高一统考期末）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是内一点，且 所以O为的重心 在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即 当M与C重合时，最大，此时 所以，即 因为在内且不含边界，所以取开区间，即 所以选B 题型二：问题（系数不为1） 典型例题 【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且．当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，， 点在由射线、线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且．， 由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线， 该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上， ， 的取值范围为． 故选：B 题型三：问题 典型例题 【变式3-1】（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号） ①存在点P，使得； ②存在点P，使得； ③存在点P，使得； ④存在点P，使得． 【答案】①④ 【解析】设， 由图可知： 且， ∴①④正确， 故答案为：①④ 题型三：问题 典型例题 【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点（不含边界）且，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得， 设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a； 过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H， 连接FH，则点K､H为临界点；GH∥DE， 所以HEEC，AHEC，HGDE，， 所以FH∥BC；所以FHBC，所以， 所以KGHK，KGHGDE． 所以实数x的取值范围是（）． 题型三：问题 典型例题 【例4】（2024·江苏·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为 【答案】 【解析】因为点是的三等分点， 则 ， 又由点三点共线，所以， 所以 ，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为， 则有，即，所以， 因为，所以. 题型四：问题 典型例题 【变式4-1】（2024·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个