第四章 因式分解 讲义 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

八年级 春季班 第7讲《因式分解》习 一、学习目标、重难点 1．理解因式分解与整式乘法的相互关系（难点） 2. 掌握因式分解的常用方法：提公因式法和公式法【平方差公式和完全平方公式】（重点） 二、知识点导航及分析 因式分解与整式乘法 ①把一个多项式化成 的形式，这种变形 叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式； ②因式分解与 是两种不同的变形过程，它们 互为逆过程。 提公因式法 ①公因式：我们把多项式各项都含有的 因式，叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是代数式 中的 、 ②提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成 两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做 提公因式法. 公式法 ①平方差公式： （用含字母a、b的等式表示），公式中的a、b既可以是 ，也可以是 . ②完全平方公式：= ，= ，公式中的a、b既可以是单项式，也可以是多项式. 分解因式的方法： ①一提（提公因式）； ②二套（平方差公式或完全平方公式）； ③三检查（分解是否正确.书写是否彻底） ※易错点 1.因式分解与整式乘法混淆 2.因式分解不彻底 三、专题突破 【专题一】因式分解和整式乘法 【例1】下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法？哪些是因式分解？哪些两者都不是？ （1） ax+bx+cx+m =（a+b+c）x+m ； （2）mx2﹣2mx+m =m（x﹣1）2． （3）4a﹣2a（b+c）= 4a﹣2ab﹣2ac； （4）（x﹣3）（x+3）=（x+3）（x﹣3）． （5）x2﹣y2﹣1 =（x+y）（x﹣y）﹣1； （6）（x﹣2）（x+2）= x2﹣4． 【变式练习】 1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的有（　　） ①24x2y=4x•6xy； ②； ③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16； ④25y2﹣10y+1=5y（5y﹣2）+1； ⑤t2﹣3t+2=（t﹣1）（t﹣2）； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【专题二】提公因式法 【例2】（1）在多项式3x2y3z+4x5y2+6x4yz2中，各项的公因式是（　　） A．x2yz B．12x5y3z2 C．12x2yz D．x2y （2）把下列各式因式分解 ① ②2x2y﹣8xy+8y ③ 【例3】计算（﹣）2016+（﹣）2017得（　　） A．﹣ B．﹣ C．（）2017 D．（）2016 【变式练习】 1．已知，xy=2，则2x²y - xy²=　　 ． 2．计算：（1） （2） （3） 【专题三】公式法 【例4】用适当的方法因式分解 （1）4x2﹣9y2 ； (2)（x2+4）2﹣16x2； (3) 9（m+n）2﹣16（m﹣n）2； （4）； （5）（x﹣2）2+10（x﹣2）+25； （6）3ax2﹣6axy+3ay2 【变式练习】 1．下列各式能用平方差公式分解因式的有（　　） ①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2 【例5】已知|x﹣2y﹣1|+x2+4xy+4y2=0，则x+y=　　． 【变式练习】 1．若a+b=5，ab=，则a2﹣b2=　　． 2．计算下列各式： （1）1﹣ =　 　；（2） =　 　；（3） =　 　； 你能根据所学知识找到计算上面的算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算 下式：． 【专题四】证明整除问题 【例6】能被7整除吗？说明理由 【变式练