第三章 图形的平移与旋转——《旋转与中心对称》讲义 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

八年级 春季班 第6讲《旋转与中心对称》（答案） 二、专题突破 【专题一】成中心对称图形和中心对称图形的概念 【例1】下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（　A　） A． B． C． D． 【变式练习】 1.如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　D　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠AOB＝∠A′OB′ C．AB＝A′B′ D．OA＝OB′ 2．下列图形中：①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形，既是轴对称图形又是中心对称形的有 2 个． 【专题二】中心对称性质及作图 【例2】如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）． （1） 请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′， 并写出点A的对应点A′的坐标 （2，-3） ； （2） 若将点B绕坐标原点O逆时针旋转90°，请直接写出点B的 对应点B″的坐标 （0，-6） ； （3） 请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点 D的坐标 （3，3）或（-7，3）或（-5，-3） ． 解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求，A′（2，-3）； 故答案为：（2，-3）； （2）B″（0，-6）； 故答案为：（0，-6）； （3）第四个顶点D的坐标为（3，3）或（-7，3）或（-5，-3）． 故答案为：（3，3）或（-7，3）或（-5，-3）． 【专题三】简单的图案设计和几何变换的类型 【例3】如图是网格中由五个小正方形组成的图形，根据下列要求画图（涂上阴影）． （1）图①中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且有两条对称轴； （2）图②中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且只有一条对称轴（画出一个即可）； （3）图③中，添加一块小正方形，使之成为中心对称图形，且不是轴对称图形． 解：（1）如图①所示： （2）如图②所示： （3）如图③所示： 【专题四】中心对称的性质的应用 【例4】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为　 n-1 　． 解：连接O1B、O1C，如图： ∵∠BO1F+∠FO1C=90°，∠FO1C+∠CO1G=90°， ∴∠BO1F=∠CO1G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠O1BF=∠O1CG=45°， 在△O1BF和△O1CG中， ∴△O1BF≌△O1CG（ASA）， ∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形=1， 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形=1， ∴把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为（n-1）． 故答案为：n-1 【变式练习】 1．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（　A　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，已知AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于 点C成中心对称，则AE的长是　 　． 【专题五】几何变换的综合应用 【例5】如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE． （1）求∠DCE的度数； （2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长． 解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAD=∠BCD=45°． 由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°． ∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°． （2）∵BA=BC，∠ABC=90°， ∴AC=． ∵CD=3AD， ∴AD=，DC=3． 由旋转的性质可知：AD=EC=． ∴DE=． 三、课堂练习 1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　A　） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（　B　） A．在成中心对称的图形中，连接对称点的线段不一定都经过对称中心 B．在成中心对称的图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 C．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点．那么这两个图形一定关于这一点成中心对称 D．以上说法都正确 3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． 若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（　C　） A．55° B．60° C．65° D．70° 4. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针 旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：