精品解析：上海市浦东新区上海实验学校2024届高三下学期开学考试数学试题

上海实验学校高三开学考数学试卷 2024.02 一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则__________． 2. 抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为__________． 3. 复数满足（为虚数单位），则__________． 4. 若正数，满足，则最大值为__________． 5. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________． 6. 已知，且，则__________. 7. 某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为___________． 8. 高三年级某8位同学的体重分别为90，100，110，120，140，150，150，160（单位：），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是__________． 9. 已知，均为单位向量，且，则与的夹角为__________． 10. 已知曲线，点，是曲线上任意两个不同点，若，则称，两点心有灵犀，若，始终心有灵犀，则的最小值的正切值__________． 11. 已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，则下列说法正确的是__________． ①第10个1出现在第46项； ②该数列的前55项的和是1012； ③存在连续六项之和是3倍数； ④满足前项之和为2的整数幂，且的最小整数的值为440 12. 已知函数的最小值为0，则a的值为________. 二､选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 14. 将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，三棱柱满足棱长都相等，且平面，是棱的中点，是棱上的动点，设，随着增大，平面与底面所成钝二面角的平面角是（ ） A. 减小 B. 先减小再增大 C. 先增大再减小 D. 增大 16. 已知，函数在点处切线均经过坐标原点，则（ ） A B. C. D. 三､解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知函数． （1）求函数的最小值和单调增区间； （2）设角、为的三个内角，若，，求． 18. 如图，在正三棱柱中，分别为中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 19. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 20. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，． (i) 设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，； (ii) 若，当最大时，求四边形的面积． 21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，分别为的极大值点和极小值点，记，． （ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C； （ⅱ）在（i）条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由． 附：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海实验学校高三开学考数学试卷 2024.02 一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据并集定义即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2. 抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为__________． 【答案】#### 【解析】 【分析】代入点解得，确定准线方程，计算得到距离. 【详解】抛物线过点，则，，准线方程为：. 点到抛物线准线的距离为. 故答案为：. 3. 复数满足（为虚数单位），则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，，因此，. 故答案为：. 4. 若正数，满足，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用消元法，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由，得， 则，解得， 则， 所以当，即时，取得最大值. 故答案为：. 5. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为的扇形，则该