1.4.1 向量分解及坐标表示（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.4.1　向量分解及坐标表示(强基课—梯度进阶式教学) 1.理解平面向量基本定理及其意义，能运用平面向量基本定理解决某些数学问题． 2．理解平面向量的正交分解、标准正交基的概念，并会用坐标表示平面向量． (一)平面向量基本定理 平面向量基本定理及相关概念 条件 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 结论 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数．(2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定．也就是： 如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′ 基 我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2} 坐标 分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标．取定了平面上一组基{e1，e2}之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为v＝(x，y) 微点助解 (1)平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的． (2)基的性质 ①不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基．由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基． ②不唯一性 对基的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基{e1，e2}线性表示． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基．(　 ) (2)平面向量的基不是唯一的．(　 ) (3)零向量不可作为基中的向量．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________． 答案：4e1＋3e2 (二)平面向量的正交分解与坐标表示 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解 标准正交基 平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基，记作{i，j}．显然i＝(1,0)，j＝(0,1) 向量坐标的计算公式 设单位向量e1，e2的夹角〈e1，e2〉＝90°，非零向量v的模|v|＝r且〈e1，v〉＝α，则v＝(rcos α，rsin α) 微点助解 点的坐标与向量的坐标的区别与联系 区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若O为坐标原点，且＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．(　 ) (2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．(　 ) (3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，则向量a的坐标为(　 ) A．(4e1,3e2)　　　　　 B．(4e1，－3e2) C．(4,3) D．(4，－3) 解析：选D　∵e1，e2是互相垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，∴a＝(4，－3)． 题型(一)　用基表示向量 [典例1]　设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来． [解]　如图，＝－＝－－ ＝－－(－) ＝－＝b－a. ＝－＝－＝a－b. ＝－＝－(＋)＝a＋b. [方法技巧] 平面内任何一个向量都可以用两个基进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基方向进行组合或分解．　　 　　 [针对训练] 1．在△ABC中，＝a，＝b，＝，则＝(　 ) A.a＋b B．a＋b C.a＋b D．a＋b 解析：选B　∵＝a，＝b，∴＝－＝b－a.又＝，∴＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.故选B. 2．设e1，e2是平面内一组基，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋______b. 解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以 答案：　－ 题型(二)　平面向量基本定理的应用 [典例2]　如图，在