1.3 第1课时 向量的数乘（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.3　向量的数乘 　　　　　　第 1 课时　向量的数乘(概念课—逐点理清式教学) 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义． 2．理解两个平面向量共线的含义．　 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 逐点清(一)　向量的实数倍 [多维度理解] 1．向量的数乘 定义 一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作，称为a的λ倍，它的长度|λa|＝|λ||a|.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘 规定 当λ≠0且a≠0时 当λ＞0时，λa的方向与a同向 当λ＜0时，λa的方向与a反向 当λ＝0或a＝0时 λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0 几何意义 把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小 2.向量的线性运算 我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算． [细微点练明] 1．下列各式不表示向量的是(　 ) A．0·a　　　　　 B．a＋3b C．|3a| D．e(x，y∈R，且x≠y) 答案：C 2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　 ) A．b＝2a B．b＝－2a C．a＝2b D．a＝－2b 答案：A 3．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列关系式正确的是(　 ) A.＝3 B．＝2 C.＝ D．＝2 解析：选D　由题意可知＝－3，＝－2＝2.故只有D正确． 4．(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是(　 ) A．－2a与a的方向相反，且－2a的模是a的模的2倍 B．3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 解析：选ABC　∵－2<0，∴－2a与a方向相反．又|－2a|＝2|a|，∴A正确． ∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|. ∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|. ∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的. ∴B正确．按照相反向量的定义可以判断C正确． ∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)为相等的向量．∴D不正确． 逐点清(二)　共线向量及其运算 [多维度理解] 1．向量平行或共线 (1)定义：当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作a∥b. (2)向量平行(或共线)的充要条件 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍，即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb. 2．向量的夹角 条件 设a，b是两个非零向量 产生过程 如图，任选一点O，作＝a，＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB＝θ称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 [0，π] 特 殊 情 况 θ＝0 a，b方向相同 θ＝π a，b方向相反 θ＝ a与b垂直，记作a⊥b 规定 零向量0与a的夹角为0，零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，零向量与任一向量垂直 3.单位向量 (1)我们把长度为1的向量称为单位向量．它的长度等于单位长度． (2)对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝a. [细微点练明] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.(　 ) (2)若＝3，则与共线．(　 ) (3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l.(　 ) (4)若点P是AB的中点，点O为直线AB外一点，则＝(＋)．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　 ) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 3．(多选)在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是(　 ) A.与的夹角是钝角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 答案：AB 4．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b. 解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ＞0)． ∴|a|＝|λb|＝|λ||b|. 又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8. ∴λ＝8. 答案：8 逐点清(三)　数乘运算律 [多维度理解] 设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则： (1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya. (2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a. (3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb. [细微点练明] 1．(多选)下列计算正确的是(　 ) A．(－3)·2a＝－6a B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a C．(a＋2b)－(2