6.2 第3课时 组合与组合数（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第三课时　组合与组合数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题． 重点 难点 重点：组合数的概念，用排列与组合知识解决简单的问题． 难点：建立组合与排列的联系以及两者之间的区别. (一)组合的概念 1．组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合与排列的区别与联系 排列与组合两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的． (1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性：元素的无序性．取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求． (3)相同的组合和不同的组合：只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合；如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合． 1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是(　 ) A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d 解析：选ABC　根据同一组合的概念，可知选项D中，a，b，c中有c，没有d，但是a，b，d中有d，无c，故选项D不是相同组合；A、B、C选项满足同一组合的概念． 2．下列四个问题属于组合问题的是(　 ) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：选C　A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题． (二)组合数 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示，组合数还可以用符号()表示． 组合与组合数 “组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3. 2．组合数公式 (1)组合数公式：C＝＝＝(n，m∈N*，m≤n)． (2)规定：C＝1. 3．组合数公式的性质 (1)性质1：C＝. (2)性质2：C＝C＋. 1．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有(　 ) A．504种 B．729种 C．84种 D．27种 答案：C 2．计算C＋C＋C＋C＝________. 答案：210 —————————————————————————————————— 组合概念的理解 —————————————————————————————————————— [例1]　判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ [解]　(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出对象有关，而且与对象的安排顺序有关，是排列问题． (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出对象有关，而与对象的安排顺序无关，是组合问题． (3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题． [方法技巧] 区分排列与组合的方法 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [对点训练] 1．判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)若集合A＝，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？ (3)从7本不同的书中取出5本给某同学； (4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？ (5)把3本相同的书分给5个学