6.2 第2课时 排列与排列数的应用（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第二课时　排列与排列数的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题． 2．通过实例，体验数学知识的形成与发展，学会分析问题、解决问题的方式，培养解决实际问题的能力． 重点 难点 重点：排列数的实际应用． 难点：几种有限制条件的排列. —————————————————————————————————— 无限制条件的排列问题 —————————————————————————————————————— [例1]　现把四个小球逐个随机放入四个盒子里． (1)小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？ (2)若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ [解]　(1)由已知可得，每个小球放入盒子的放法有4种，所以小球全部放入盒子中的放法种数为44＝256. (2)每个盒子都不空的放法有A＝24种，球的编号与盒子编号完全相同的放法有1种，所以球的编号与盒子编号不全相同，有24－1＝23种投放方法． [方法技巧] 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法种数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”，即在排列问题中元素不能重复选取．而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． [对点训练] 1．(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？ 解：(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，相当于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60种． (2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题． 由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得，共有5×5×5＝125种报名方法． —————————————————————————————————— 组数问题 —————————————————————————————————————— [例2]　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． [解]　(1)第一步，排个位，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法； 第三步，排其他位，有A种排法． 故共有AAA＝288个六位奇数． (2)法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． 第一类，当个位排0时，有A个； 第二类，当个位不排0时，有AAA个． 故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504个． 法二：(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不是符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况． 故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504个． (3)分三种情况， ①当千位上排1,3时，有AAA个． ②当千位上排2时，有AA个． ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有A个； 形如41××的有AA个； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数． 故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110个． [拓展] 　本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？ 解：个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A个；若个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216个能被5整除的五位数． [方法技巧] 数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 (1)解题原则：排列问题的本质是“对象”占“位子”问题．有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某对象不排在某个位子上，或某个位子不排某些对象，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊对象或优先满足特殊位子，若一个位子安排的对象影响到另一个位子的对象个数时，应分类讨论. (2)常用方法：直接法、间接法． (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊对象“0”的处理． [对点训练] 2．用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数． 解：本题可分两类．第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A＝24； 第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以十位位置上只能排1,3,7，有A＝3种方法． 又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3