6.4.1平面几何中的向量方法课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 引入 前面我们学习了平面向量的有关概念及运算，知道了向量具有几何和代数的双重属性 . 你能再说说向量的这种特点吗？ 一方面，向量具有长度和方向，可以用有向线段来表示，可以与几何上的长度，角度(含平行，垂直等）相关联，进一步解决，位置，面积，相似等问题，而且向量的线性运算，数量积运算的法则和规律都有明显的几何意义. 另一方面，向量同数一样，都有自己的运算体系，通过运算解决问题. 向量的数量积运算最终归结为几个实数的乘积， 而向量用一个字母量时，向量的线性运算几何与实数的运算类似. 借助平面向量基本定理将向量坐标化后，向量的运算更是几乎纯粹实数化。 因此，平面几何中的很多问题都可以用向量的方法来解决， 其基本思路是： 接下我们就来学习用向量法解决平面几何中的一些问题. 几何图形到向量 恰当的向量运算 向量到几何关系 返回 例 析 思考(3): 通过本题以及前面的经验，你能总结一下用向量法解决几何问题的主要过程和步骤吗? 用向量法解决几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 返回 转化:几何化向量 运算 翻译: 向量回几何 平行四边形对角线定理 平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和（或两条邻边平方和的2倍) 练习 三角形的“心” 重心：三条中线的交点；垂心：三条高 的交点； 内心：三条内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； 外心：三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)； 中心：等边三角形重心，垂心，内心，外心的重合点 例 析 由于本题涉及是与正方形有关的问题，因此如果建立坐标系，很容易得到向量的坐标，从而用向量的坐标运算来解决。 练习 课堂小结 1.为什么说向量具有几何和代数的双重属性? 2.说说用和向量解决几何问题的思路和步骤是怎样的? 3.回顾一下，向量法中使用的一般定理理有哪一些？ (1)向量加法(含减法)的运算法则及运算律; (2)向量数乘的意义及运算律(含共线向量定理); (3)向量数量积的意义和运算律(含向量垂直的充要条件); (4)平面向量基本定理. 4.用向量法一般可解决几何中的那一些问题? (1)平行问题，共线问题; (2)角度问题，垂直问题； (3)长度问题； (4)位置问题. 作业 2.如图，在正方形ABCD中，P 为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF. 用向量法求证：DP⊥EF. 2.如图，在正方形ABCD中，P 为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF. 求证：DP⊥EF. 证明: 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， ＝－a＋a2＋a(1－a) ＝0. 另证： 　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1， 2.如图，在正方形ABCD中，P 为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF. 求证：DP⊥EF. $$