第2章 3.1 向量的数乘运算(概念课—逐点理清式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

3.1　向量的数乘运算(概念课—逐点理清式教学) 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． 2．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 逐点清(一)　向量的数乘的概念 [多维度理解] 1．向量的数乘的定义 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反；当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝|λ||a|.这种运算称为向量的数乘． 2．λa的几何意义 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍． 当λ＜0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 3．单位向量的表示 与非零向量a同方向的单位向量是，与非零向量a反方向的单位向量是－. 微点助解 (1)实数与向量数乘λa中，实数λ称为向量a的系数． (2)实数与向量的乘积仍是一个向量，它可以看成实数与实数的乘积的推广．但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义． (3)当λ＝0或a＝0时，均有λa＝0.反之，若λa＝0，则λ＝0或a＝0. [细微点练明] 1．(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题正确的是(　 ) A．2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B．－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a的模的倍 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 解析：选ABC　2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|，故A正确．－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向．∵－a与a反方向，∴－2a与3a反方向．又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，∴－2a的模是3a的模的倍，故B正确．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，∴－2a与2a是一对相反向量，故C正确．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的，故D错误． 2．(多选)已知λ，μ∈R，则下列命题正确的是(　 ) A．λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B．λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C．λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 D．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 解析：选ABC　由λ与向量a的积λa的方向规定，知A、B正确；对于C、D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C正确，D错误．故选A、B、C. 3．要得到向量－2a，可将(　 ) A．向量a向左平移2个单位长度 B．向量a向右平移2个单位长度 C．向量a保持方向不变，长度伸长为原来的2倍 D．向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍 解析：选D　根据向量数乘的概念及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍．故选D. 4．设a为任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式正确的是(　 ) A．e＝ B．a＝|a|e C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e 答案：D 逐点清(二)　向量的线性运算 [多维度理解] 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，那么 (1)λ(μ a)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb； (4)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． [细微点练明] 1．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(　 ) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 解析：选AB　m(a－b)＝ma－mb，A正确；(m－n)a＝ma－na，B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0，则m，n不一定相等，D错误． 2.－＝(　 ) A．a－b＋2c B．5a－b＋2c C．a＋b＋2c D．5a＋b 解析：选A　－＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c.故选A. 3．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y. 解：联立方程组解得 4．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]； (3)(x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)(x，y∈R)． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝(4a＋16