第2章 §1 从位移、速度、力到向量(概念课—逐点理清式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第二章 平面向量及其应用 §1　从位移、速度、力到向量(概念课—逐点理清式教学) 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景． 2．理解向量、相等向量、共线向量、零向量、夹角的概念及向量的表示． 逐点清(一)　向量的概念与表示 [多维度理解] 1．向量的概念 既有大小又有方向的量统称为向量． 2．向量的表示 (1)有向线段：具有方向和长度的线段称为有向线段(如图)．以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作. (2)向量的几何表示：向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． (3)向量的符号表示：向量可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…(书写)来表示． (4)向量的模：向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 3．两个特殊向量 名称 定义 表示方法 零向量 长度为0的向量称为零向量 0或 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量 微点助解 (1)若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合． (2)要注意0与0的区别与联系：0是一个实数，0是一个向量，且有|0|0 . (3)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (4)在平面内，所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆． (5)向量的模能比较大小，但向量不能比较大小． [细微点练明] 1.已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　 ) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 解析：选D　终点是N而不是M. 2．下列命题正确的是(　 ) A．温度有零上和零下之分，所以温度是向量 B．向量的模是一个非负实数 C．|a|＞|b|，则a＞b D．向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b是同一向量 解析：选B　温度虽有大小却无方向，故不是向量，A错误；易知B正确；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，C错误；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，D错误． 3.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°； (2)，使＝4，点B在点A正东； (3)，使＝6，点C在点B北偏东30°. 解：(1)因为点A在点O北偏东45°方向上，且＝4，所以在坐标纸上点A距离O的横向小方格数与纵向小方格数相等，都为4，如图所示． (2)因为点B在点A正东方向，且＝4，所以在坐标纸上点B距离A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且＝6，由勾股定理知，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，如图所示． 逐点清(二)　相等向量与共线向量 [多维度理解] 1．相等向量 长度相等且方向相同的向量叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b. 2．共线向量 共线 (平行) 向量 若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．向量a的相反向量记作－a 规定 零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量 微点助解 (1)向量共线有三种情形：①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量． (2)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义． [细微点练明] 1．已知向量a与b是两个不平行的向量，若a∥c且b∥c，则c等于(　 ) A．0 B．a C．b D．不存在这样的向量 解析：选A　零向量与任一向量是共线向量，故c＝0满足条件．若c≠0，则a∥c且b∥c，得到a∥b，这与条件矛盾，排除．综上所述，c＝0，故选A. 2．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　 ) A.与 B.与 C.与 D.与 解析：选C　由＝，可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量，A错误；与互为相反向量，B错误；与满足相等向量的定义，C正确；与方向不同不满足相等向量的定义，D错误．故选C. 3．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是(　 ) A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起点的向量 D．共线向量 解析：选B　如图，因为O是正△ABC的中心，所以||＝||＝||＝R(R为△ABC外接圆的半径)．所以向量，，是模相等的向量，但方向不同．故选B. 4.如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，