2024年九年级数学中考复习专题：二次函数新概念题型专练

中考复习专题：二次函数新概念题型专练 1．我们约定：图象关于y轴对称的函数称为偶函数． （1）下列函数是偶函数的有 　 　（填序号）； ①y＝x+1；②y＝﹣2020x2+5；③y＝||；④y＝2021x2﹣2020x+2018． （2）已知二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是偶函数，将此偶函数进行平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c，新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若AB＝2，且以AB为直径的圆恰好经过点C，求平移后新函数的解析式； （3）如图，已知偶函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2），（2，5），过点E（0，2）的一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），过点AB分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问：是否存在实数m，使S22＝mS1S3都成立？若成立，求出m的值，若不存在，说明理由． 2．在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，规定：（1）符号[a，b，c]称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． 完成下列问题： （1）若一条抛物线的系数是[﹣1，0，m]，则此抛物线的函数表达式为　 　，当m满足　 　时，此抛物线没有“抛物线三角形”； （2）若抛物线y＝x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为[1，﹣5，3b]的“抛物线三角形”的面积； （3）在抛物线y＝ax2+bx+c中，系数a，b，c均为绝对值不大于1的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率． 3．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P（a，b），则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）+b，即当x＝a时，y始终等于b． （1）若抛物线y＝﹣2（x+1）2+3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式； （2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx+3k﹣2，求该抛物线的解析式； （3）如图2，直线m：y＝x+3与直线n：y＝﹣2x+9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式． 4．对于抛物线y＝ax2+bx+c，我们将它的顶点以及它与x轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形”． （1）下列抛物线，有“内接三角形”的是 　 　． ①y＝x2+2x+1；②y＝﹣x2﹣3x+1；③y＝3x2﹣2x+7； （2）如图1，抛物线y＝ax2﹣6x+c与x轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”△ABD为等边三角形． ①求ac的值； ②如图2，若该抛物线经过点（0，6），∠BAD的平分线交BD于点P，点M为射线AB上一点，连接直线PM交射线AD于点N，求+的值． 5．如图1，过平面内一点P作PH⊥AB，垂足为H，我们把HA•HB称为点P关于线段AB的“幂值”，记作PAB，比如：PH⊥AB，HA＝4，BH＝3，则点P关于线段AB的幂值PAB＝12． （1）已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，求幂值CAB； （2）如图2，已知⊙O半径为5，定点E在⊙O内，且OE＝3，过点E作⊙O的任意一条弦AB，则幂值OAB是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请求出幂值OAB的取值范围； （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A， C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴负半轴的交点，若幂值ABC＝BAC＝CAB，判断△ABC的形状，并求b2﹣4ac的值． 6．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”． （1）在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有　 　； （2）如图1，“完美四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长； （3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的解析式为y＝x，且四边形ABCD的面积为15，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值． 7．定义：点P（t，0）是x轴上一点，将函数l的图象位于直线x＝