精品解析：广东省2024届高三下学期2月大联考数学试题

2024届高三年级2月份大联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知在中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若定义在上的函数满足，则下列结论一定正确的为（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 的图象关于y轴对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 6. 已知点P是曲线在第一象限内的一点，A为的左顶点，R为PA的中点，F为的右焦点．若直线OR（O为原点）的斜率为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在各棱长都为2的正四棱锥中，侧棱在平面上的射影长度为（ ） A B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 若z满足，则（ ） A. z的实部为3 B. z的虚部为1 C. D. z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为3 10. 已知，则（ ） A. 若，则存在唯一的实数p，q，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 11. 若过点可作曲线的n条切线，则（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 过，仅可作的一条切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为_________． 13. 在数列中，，且，则的通项公式为_________． 14. 若圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于的焦点A，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某小区在2024年元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． （1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； （2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． 16. 如图，在圆锥中，若轴截面正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且． （1）求证：平面平面； （2）若为正三角形，且F为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 设函数，其中a为实数． （1）当时，求的单调区间； （2）当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：． 18. 在直角坐标系中，已知． （1）求点P的轨迹C的方程； （2）设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点． ①证明：l与ON相交； ②已知l与直线ON交于T，若，求的最大值． 19. 在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的． （1）试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？ （2）设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值； （3）证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高三年级2月份大联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上