第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（春季讲义）-2023-2024学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 【人教A版2019】 ·模块一 平面向量基本定理 ·模块二 平面向量的坐标表示 ·模块三 课后作业 模块一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 【考点1 用基底表示向量】 【例1.1】（2023上·广西柳州·高二柳州高级中学校考开学考试）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【例1.2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·河南·高三校联考期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023上·河北保定·高三河北易县中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【考点2 平面向量基本定理的应用】 【例2.1】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（　　） A．5 B．3 C． D． 【例2.2】（2023上·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023下·山西·高一校联考阶段练习）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）    A． B．3 C． D． 【变式2.2】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 【考点3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3.1】（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）在平行四边形ABCD中，，F为CD的中点，G为EF的中点，若，，，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3.2】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3.2】（2023上·河北沧州·高三校联考期中）如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 模块二 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，