重难点专题05 三角形中的范围与最值问题（九大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题05 三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度问题 题型四：转化为角范围问题 题型五： 倍角问题 题型六：与正切有关的最值问题 题型七：最大角问题 题型八：三角形中的平方问题 题型九：等面积法、张角定理 【方法技巧与总结】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围. 【典例例题】 题型一：周长问题 【例1】（2024·全国·高一假期作业）已知的内角的对边分别为，且. (1)求边长和角A； (2)求的周长的取值范围. 【变式1-1】（2024·高一单元测试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______． (1)求角C的大小； (2)若，的内心为I，求周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 题型二：面积问题 【例2】（2024·全国·高一专题练习）已知中，在线段上，． (1)若，求的长； (2)求面积的最大值． 【变式2-1】（2024·全国·高一专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围． 【变式2-2】（2024·全国·高一专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的值； (2)求面积的最大值. 题型三：长度问题 【例3】（2024·全国·高一专题练习）如图，在中，，D为AC边上一点且． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【变式3-1】（2024·全国·高一专题练习）已知，，均在线段上，为中线，为的平分线，①；②． (1)若，从①②中选择一个作为条件，求； (2)若，，，求的取值范围． 【变式3-2】（2024·全国·高一专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为 (1)求角A的大小； (2)当时，求的取值范围. 题型四：转化为角范围问题 【例4】（2024·海南·校联考模拟预测）已知在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·全国·高三校联考专题练习）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，则的取值范围为 A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式4-2】（2024·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)求角A； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 题型五： 倍角问题 【例5】（2024·江苏南京·高一南京师范大学附属扬子中学校考开学考试）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则的取值范围为 . 【变式5-1】（2024·江西抚州·统考一模）已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 ． 题型六：与正切有关的最值问题 【例6】（2024·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期末）已知锐角中，角的对边分别为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：最大角问题 【例7】（2024·湖北·高二华中科技大学附属中学校联考期末）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【变式7-1】（2024·辽宁·高一校联考期末）设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·浙江温州·高一统考期末）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，