重难点专题06 解三角形图形类问题（六大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点06 解三角形图形类问题 【题型归纳目录】 题型一：妙用两次正弦定理 题型二：两角使用余弦定理 题型三：张角定理与等面积法 题型四：角平分线问题 题型五：中线问题 题型六：高问题 【方法技巧与总结】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题】 题型一：妙用两次正弦定理 【例1】（2024·陕西·高三校联考阶段练习）的内角的对边分别为为平分线，. (1)求； (2)上有点，求. 【变式1-1】（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，．    (1)若，求； (2)若，求． 【变式1-2】（2024·江苏徐州·高一统考期末）在①，②，③的面积 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在中，角、、的对边分别为、、，已知______. (1)求角； (2)若点在边上，且，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 题型二：两角使用余弦定理 【例2】（2024·湖北武汉·统考一模）如图，内一点满足. (1)若，求的值； (2)若，求的长. 【变式2-1】（2024·广东汕头·高一统考期末）如图，在中，点在边上，，，，． （1）求的值； （2）若的面积是，求的长． 【变式2-2】（2021·全国·统考高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 题型三：张角定理与等面积法 【例3】（2024·广东·统考一模）已知△ABC中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【变式3-1】（2024·贵州黔东南·凯里一中校考一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积． 【变式3-2】（2024·山西晋中·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积． ①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． 题型四：角平分线问题 【例4】（2024·江苏盐城·高一统考期末）已知三角形ABC，， (1)若且AD为的平分线，D为BC上点，求的值. (2)若，，求AD的长 【变式4-1】（2024·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点. (1)当为边中点时，若，求的长度； (2)当为的平分线时，若，求的最大值. 题型五：中线问题 【例5】（2024·辽宁大连·高一校联考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长. 【变式5-1】（2024·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线． (1)求及线段的长； (2)求的面积． 【变式5-2】（2024·福建厦门·高一厦门市松柏中学校考阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，边上中线的长为. (1)求角A和角B的大小； (2)求的面积. 题型六：高问题 【例6】（2024·山东青岛·高三青岛二中校考期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若，且的周长为，求边上的高. 【变式6-1】（2024·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，且满足. (1)求角的大小； (2)设BC边上的高，求S的最小值. 【变式6-2】（2024·江苏苏州·高三统考期末）在①的平分线长为；②D为BC中点，；③为边上的高，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 中，角A，B，C的对边为，，，已知，. (1)求; (2)若 ，求的大小. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【过关测试】 1．（2024·宁夏银川·高一银川一中校考期末）在梯形ABCD中，，