重难点专题05 三角形中的范围与最值问题（九大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题05 三角形中的范围与最值问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围. 03 典型例题 【例1】（2024·河北保定·高一校联考期末）已知锐角内角及对边，满足． （1）求的大小； （2）若，求周长的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为，所以， ，可得，由，可得． （2）因为，由正弦定理， 可得， 可得 ， 因为锐角三角形中，所以，解得，所以，所以， 可得．周长的取值范围为． 题型一：周长问题 典型例题 【变式1-1】（2024·全国·高一假期作业）已知的内角的对边分别为，若． （1）求的值； （2）若的面积为，求周长的取值范围． 【解析】（1）， ， ， 解得：（舍）或，． （2），， ，又，，， 则，， ，，， ，，又，周长的取值范围为． 题型一：周长问题 典型例题 【例2】（2024·四川眉山·高一校联考期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）求角A的大小； （2）若的周长为6，求面积S的最大值． 【解析】（1）由余弦定理，得，即 则，所以 又，所以． （2）由题意，，根据余弦定理， 得， 则，所以， 当且仅当时取等号 所以面积，故面积S的最大值为． 题型二：面积问题 典型例题 【变式2-1】（2024·安徽滁州·高一校联考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且满足． （1）已知为线段上一点，且满足，若，求的长； （2）若为锐角三角形，求面积的范围． 【解析】（1）由题设，则，故， 又，则，又，则为等边三角形，故， 由，则， 所以（负值舍），故． （2）由题意，则，又，则， 所以，由， 而，所以． 题型二：面积问题 典型例题 【例3】（2024·全国·高一专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为 （1）求角A的大小； （2）当时，求的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理得：， 所以，即， 因为，所以，又，所以 （2），，由正弦定理， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 则，所以，所以 题型三：长度问题 典型例题 【变式3-1】（2024·全国·高一专题练习）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值． （2）求的取值范围． 【解析】（1）设的外接圆半径为． 由正弦定理，得，，． 因为，则， 整理得， 由余弦定理得，即， 又因为，则，可得，所以． （2）由正弦定理可得，则 因为是锐角三角形，则，解得，则， 可得，所以的取值范围是． 题型三：长度问题 典型例题 【例4】（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，若的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用正弦定理可知 ，又为锐角三角形， 由锐角可知， ，， 利用正弦函数性质知，即的取值范围是 故选：B 题型四：转化为角范围问题 典型例题 【变式4-1】（2024·山东临沂·高一校考期末）记的内角的对边分别为，已知． （1）若，求； （2）若，求的范围． 【解析】（1）由得：， ， 即， ，， ，，，解得：． （2）由（1）知：，，，， 或，即或； ，当时，，不合题意，， ， ，，． 题型四：转化为角范围问题 典型例题 【例5】（2024·江苏南京·高一南京师范大学附属扬子中学校考开学考试）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】锐角中，由于，，， ，． 所以 所以 故答案为： 题型五： 倍角问题 典型例题 【变式5-1】（2024·江西抚州·统考一模）已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 ． 【答案】   【解析】由正弦定理可知． ， 又， 则，， 从而， 又，知，所以， 则， 换元可令，则， 故本题应填． 题型五