追梦专项总结突破卷(四)平行四边形的性质、判定、折叠和动点问题-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年八年级下册数学（北师大版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(四) 平行四边形的性质、判定、折叠和动点问题 题型一　 平行四边形的判定 1. 已知:如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是边 AB,CD 的 中点. (1)求证:四边形 EBFD 是平行四边形; (2)若 AD=AE= 2,∠A= 60°,求四边形 EBFD 的面积. 题型二　 证明线段的关系 2. 如图,点 B、F、C、E 在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD 交 BE 于点 O. (1)求证:AD 与 BE 互相平分; (2)若 AB⊥AC,AC=BF,BE= 8,FC= 2,求 AB 的长. 3. 八年级某数学兴趣小组在学习过“平行四边形”之后,决定利用 对称变换来探究平行四边形背景下特殊三角形的一类存在性问 题. 以下是该小组讨论的一个片段,请仔细阅读,完成下列学习 任务: (1)猜想证明:如图 1,在▱ABCD 中,AB>AD,将△ABD 沿 BD 翻 折至△A′BD,A′B 交 CD 于点 O,连接 A′C,猜想 A′C 与 BD 之间 的位置关系及△BOD 的形状,并说明理由; (2)应用探究:在(1)的条件下,如图 2,若∠A = 60°,AB = 2,当 △A′OD 是直角三角形时,请直接写出 AD 的长(计算结果中分 母中可以含有根号). 图 1 　 图 2 题型三　 求线段的长 4. 如图,等边三角形 ABC 的边长是 2,D,E 分别为 AB,AC 的中点, 连接 CD,过点 E 作 EF∥CD 交 BC 的延长线于点 F. (1)求证:DE=CF; (2)求 EF 的长. 题型四　 探究条件问题 5. (湖南娄底一模)如图,△ABC 为等边三角形,D、F 分别为 BC、 AB 上的点,且 CD=BF. (1)求证:△ACD≌△CBF; (2)以 AD 为边作等边三角形△ADE,点 D 在线段 BC 上的何处 时,四边形 CDEF 是平行四边形. 题型五　 探究动点问题 6. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,∠B= 45°,BC= 10,过点 A 作 AD ∥BC,且点 D 在点 A 的右侧,点 P 从点 A 出发沿射线 AD 方向以 每秒 1 个单位的速度运动,同时点 Q 从点 C 出发沿射线 CB 方 向以每秒 2 个单位的速度运动,在线段 QC 上取点 E,使得 QE= 2,连接 PE,设点 P 的运动时间为 t 秒. (1)请问是否存在 t 的值,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平 行四边形? 若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (2)若 PE⊥BC,求 BQ 的长. ·53· 7. 如图,AM 是△ABC 的中线,D 是线段 AM 上一动点(不与点 A 重 合) . DE∥AB 交 AC 于点 F,CE∥AM,连接 AE. (1)如图 1,当点 D 与 M 重合时,求证:四边形 ABDE 是平行四 边形; (2)如图 2,当点 D 不与 M 重合时,MG∥DE 交 CE 于点 G,(1) 中的结论还成立吗? 请说明理由; (3)如图 3,延长 BD 交 AC 于点 H,若 BH⊥AC,且 BH = AM,则 ∠CAM= 　 　 　 　 . 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 8. 已知在平行四边形 ABCD 中,动点 P 在 AD 边上,以每秒 0. 5 cm 的速度从点 A 向点 D 运动. (1)如图 1,在运动过程中,若 CP 平分∠BCD,且满足 CD =CP, 求∠B 的度数. (2)在(1)的条件下,若 AB= 4 cm,求△PCD 的面积. (3)如图 2,另一动点 Q 在 BC 边上,以每秒 2 cm 的速度从点 C 出发,在 BC 间往返运动,P,Q 两点同时出发,当点 P 到达点 D 时停止运动(同时 Q 点也停止),若 AD = 6 cm,求当运动时间为 多少秒时,以 P,D,Q,B 四点组成的四边形是平行四边形. 图 1 　 　 　 　 图 2 题型六　 平行四边形中的翻折问题 9. 如图,在▱ABCD 中,将△ADC 沿 AC 折叠后,点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处. 若∠B = 60°,AB = 1,则▱ABCD 的周长 为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图,将▱ABCD 沿对角线 AC 折叠,使点 B 落在点 B′处,若∠1 = ∠2 = 36°,则∠B 为(　 　 ) A. 127° B. 126° C. 125° D. 124° 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,以 BE 为折痕,将 △ABE 向上翻折,点 A 正好落在边 CD 上的点 F 处,若△DEF 的周长为 8,△CBF 的周长为 18,则 FC 的长为　 　 　 　 . 12. 在▱ABCD 中,点 E 为 AB 边的中点,连接 CE,将△BCE 沿着 CE 翻折,点 B 落在点 G 处,连接 AG 并延长,交 CD 于 F. (1)求证:四边形 AECF 是平行四边形; (2)若 CF= 5,△GCE 的周长为 20,求四边形 ABCF 的周长. 题型七　 平行四边形中的面积问题 13. 如图,点 P 为平行四边形 ABCD 内的任意一点,连接 PA,PB, PC,PD. 设△PAB、△PBC、△PCD、△PAD 的面积分别为 S1、S2、 S3、S4,则 S1、S2、S3、S4 之间的等量关系为　 　 　 　 　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 　 第 14 题图 14. 如图,已知平行四边形 ABCD 中,AD = 6,AB = 10,∠DAB = 60°, AC、BD 相交于点 O,经过点 O 的直线 EF 分别交 CD、AB 于点 E、F,则图中阴影部分的面积是　 　 　 　 . ·63· 或 m= 0. 故选 D. 12. D 13. 解:(1)设菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格是 x 元. 根据题意得 300 x = 300 5 4 x +3,解得 x = 20,经检验,x = 20 是原方程的解,即菜苗基地每捆 A 种菜苗的价 格是 20 元; (2)设购买 A 种菜苗 m 捆,则购买 B 种菜苗(100 -m)捆,由题意,得 m≤100-m,解得 m≤50,设本 次购买花费 w 元,∴ w = 20×0. 9m+30×0. 9(100- m)= -9m+2700. ∵ -9<0,∴ w 随 m 的增大而减 小,∴ m = 50 时,w 取最小值,最小值为- 9 × 50 + 2700 = 2250(元),即本次购买最少花费 2250 元. 14. 解:(1)设今年 7 月份该品牌 A 型号空调的销售单 价为 x 元,则去年 7 月份该品牌 A 型号空调的销售 单 价 为 ( x - 400 ) 元, 依 题 意 得 320000 x-400 = 320000×(1+25%) x ,解得 x = 2000,经检验,x = 2000 是原方程的解,且符合题意,即今年 7 月份该品牌 A 型号空调的销售单价为 2000 元. (2)设购进 A 型号空调 m 台,则购进 B 型号空调 (400-m) 台,依题意得 400 -m≤2m,解得 m≥ 400 3 . 设购进的这批空调全部售出后获得的利润 为 w 元,则 w = ( 2000 - 1100) m + ( 2400 - 1400) (400-m)= -100m+400000. ∵ -100<0,∴ w 随 m 的增大而减小,又∵ m≥400 3 ,且 m 为正整数,∴ 当 m= 134 时,w 取得最大值,此时 400-m = 400- 134 = 266. 即当购进 A 型号空调 134 台,B 型号空 调 266 台时,才能使这批空调获利最多. 追梦专项总结突破卷(四) 1. (1)证明:在▱ABCD 中,AB = CD,AB∥CD. ∵ E、F 分别是 AB、CD 的中点,∴ BE = 1 2 AB,DF = 1 2 CD. ∴ BE=DF. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形. (2)解:∵ AD=AE,∠A= 60°,∴ △ADE 是等边三角 形. 过点 D 作 DM⊥AB 交于点 M,∴ ∠DMA = 90°, ∠ADM= 30°,∴ AM = 1 2 AD = 1,DM = AD2 -AM2 = 3 . ∵ E 为 AB 的中点,∴ BE=AE= 2,∴ S四边形EBFD = DM·BE= 2 3 . 2. (1)证明:连接 BD、AE. ∵ FB = CE,∴ BC = EF,又 ∵ AB∥ED,AC∥FD, ∴ ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE,在△ABC 和△DEF 中, ∠ABC= ∠DEF BC=EF ∠ACB= ∠DFE ì î í ïï ï , ∴ △ABC≌ △DEF ( ASA), ∴ AB = DE,又∵ AB∥ DE,∴ 四边形 ABDE 是平行四边形,∴ AD 与 BE 互 相平分; (2)解:∵ FB=CE,∴ BE= 2BF+FC,∴ BF= 3,∴ AC =BF= 3,BC=BF+FC = 5. ∵ AB⊥AC,∴ 由勾股定 理得 AB= BC2 -AC2 = 52 -32 = 4. 3. 解:(1) A′C∥BD,△BOD 为等腰三角形. 理由如 下:由折叠知,∠ABD= ∠A′BD,AB=A′B. ∵ 四边形 ABCD 平行四边形,∴ AB∥CD,AB =CD,∴ ∠ABD= ∠CDB,A′B = CD,∴ ∠OBD = ∠ODB,∴ OB = OD, ∴ △BOD 为等腰三角形. ∵ A′B =CD,∴ A′B-OB = CD- OD, 即 OA′ = OC, ∴ ∠OA′ C = ∠OCA′. ∵ ∠BOD= ∠A′OC,∠BOD+∠OBD+∠ODB= ∠A′OC +∠OCA′+∠OA′C = 180°,∴ ∠ODB = ∠OCA′,∴ A′ C∥BD; (2)AD = 4-2 3 或 2 3 -2. 　 【解析】当∠A′DO = 90°时. ∵ ∠OA′D = ∠A = 60°,∴ ∠A′OD = 30°. 设 AD = A′D = x,则 A′O = 2A′D = 2x,DO =BO = 3 x. ∵ A′O+BO=A′B = 2,∴ 2x+ 3 x = 2,解得 x = 4-2 3 , ∴ AD= 4 - 2 3 ;当∠A′OD = 90°时. ∵ CD∥AB,∴ ∠ABA′= ∠A′OD= 90°,∴ ∠ABD= 1 2 ∠ABA′= 45°. 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,∴ DE=BE. 设 AD= x,则 AE= 1 2 AD= 1 2 x,DE=BE= 3 2 x. ∵ AE+BE = AB = 2, ∴ 1 2 x+ 3 2 x= 2,解得 x = 2 3 -2,∴ AD = 2 3 -2;综 上,AD= 4-2 3 或 2 3 -2. 4. (1) 证明:∵ D、E 分别为 AB、AC 的中点,∴ DE∥ BC. ∵ EF∥CD,∴ 四边形 DEFC 是平行四边形,∴ DE=CF. (2) 解:∵ 四边形 DEFC 是平行四边形,∴ DC = EF. ∵ D 为 AB 的中点,AB= 2,∴ AD=BD= 1,CD⊥ AB,BC= 2,∴ DC=EF= 3 . 5. (1)证明:∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠B = ∠ACD = 60°, AC = BC, 在 △ACD 和 △CBF 中, AC=BC ∠ACD= ∠B, CD=BF ì î í ïï ï ∴ △ACD≌△CBF(SAS); (2) 解:D 在线段 BC 上任意位置(但 D,C 不重 合),四边形 CDEF 是平行四边形. ∵ △ACD ≌ △CBF,∴ ∠BCF = ∠DAC,AD = CF. ∵ AD = DE,∴ DE = CF. ∵ ∠ACD + ∠DAC = ∠ADE + ∠BDE = ∠ADB,∠ACD = ∠ADE = 60°,∴ ∠DAC = ∠BDE. ∵ ∠BCF = ∠DAC,∴ ∠BDE = ∠BCF,∴ DE∥CF. ∵ DE=CF,∴ 四边形 CDEF 是平行四边形. 6. 解:(1) 存在, t = 4 秒或 12 秒;理由如下:①当点 Q、E 在线段 BC 上时,若以 A,B,E,P 为顶点的四 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 22 页 边形为平行四边形,则 AP = BE,∴ t = 10-2t+2,解 得 t= 4,②当点 Q、E 在线段 CB 的延长线上时,若 以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形,则 AP =BE,∴ t= 2t-2-10,解得 t = 12,∴ 存在 t 的值,使 以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形,t = 4 秒或 12 秒; (2)过 A 作 AM⊥BC 于 M,设 AC 交 PE 于 N. ∵ ∠BAC= 90°,∠B = 45°,∴ ∠C = 45° = ∠B. ∴ AB = AC,∴ BM=CM,∵ AM⊥BC,∴ ∠BAM = 45° = ∠B, ∴ AM=BM= 5. ∵ AD∥BC,∴ ∠PAN = ∠C = 45°. ∵ PE⊥BC, ∴ PE = AM = 5,PE ⊥ AD, ∴ △APN 和 △CEN 是等腰直角三角形,∴ PN = AP = t,CE =NE = 5-t. ∵ CE=CQ-QE= 2t-2,∴ 5-t = 2t-2,解得 t = 7 3 ,∴ BQ=BC-CQ= 10-2× 7 3 = 16 3 . 7. (1) 证明:∵ DE∥AB,∴ ∠EDC = ∠ABM. ∵ CE∥ AM,∴ ∠ECD= ∠ADB. ∵ AM 是△ABC 的中线,且 D 与 M 重 合, ∴ BD = DC, ∴ △ABD ≌ △EDC (ASA),∴ AB =ED. ∵ AB∥ED,∴ 四边形 ABDE 是 平行四边形; (2)解:结论成立,理由如下:∵ CE∥AM,MG∥DE, ∴ 四边形 DMGE 是平行四边形,∴ ED=GM,由(1) 知,AB = GM,∴ AB = DE,又∵ AB∥DE,∴ 四边形 ABDE 是平行四边形; (3)30°　 【解析】取线段 CH 的中点 I,连接 MI. ∵ BM=MC,∴ MI 是△BHC 的中位线,∴ MI∥BH,MI = 1 2 BH. ∵ BH⊥AC,且 BH = AM,∴ MI = 1 2 AM,MI ⊥AC,∴ ∠CAM= 30°. 8. 解:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, ∴ ∠DPC = ∠PCB. ∵ CP 平分∠BCD,∴ ∠PCD = ∠PCB,∴ ∠DPC= ∠DCP,∴ DP =DC. ∵ CD =CP, ∴ PC=CD=PD,∴ △PDC 是等边三角形,∴ ∠B = 60°; (2) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB = CD = 4cm,作 CH⊥AD 于 H,则 DH= 1 2 PD= 2cm,由勾股 定理得,CH= CD2 -DH2 = 2 3 cm,∴ S△PCD = 1 2 ×4 ×2 3 = 4 3 (cm2). (3)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AD =BC= 6cm,∴ PD∥BQ. 要使四边形 PDQB 是平行 四边形,则 PD = BQ,设运动时间为 t 秒,①当 0<t ≤3 时,PD= 6-0. 5t,BQ = 6-2t,∴ 6-0. 5t = 6-2t, 解得 t= 0,不合题意,舍去;②当 3<t≤6 时,PD = 6 -0. 5t,BQ= 2t-6,∴ 6-0. 5t = 2t-6,解得 t = 4. 8;③ 当 6<t≤9 时,PD= 6-0. 5t,BQ= 18-2t,∴ 6-0. 5t = 18-2t,解得 t = 8;④当 9<t≤12 时,PD = 6-0. 5t, BQ= 2t-18,∴ 6-0. 5t= 2t-18,解得 t = 9. 6;综上所 述,当运动时间为 4. 8 秒或 8 秒或 9. 6 秒时,以 P, D,Q,B 四点组成的四边形是平行四边形. 9. C 10. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ CD∥ AB,∴ ∠1= ∠BAB′. ∵ 由题意,得∠BAC= 1 2 ∠BAB′ =18°,∴ ∠B=180°-∠BAC-∠2=126°.故选 B. 11. 5 12. (1)证明:由题意,得 AE∥FC,AE = BE,BE = GE, ∠CEB= ∠CEG,∴ AE =GE,∴ ∠FAE = ∠AGE. ∵ ∠CEB = ∠CEG = 1 2 ∠BEG, ∠BEG = ∠FAE + ∠AGE,∴ ∠FAE = 1 2 ∠BEG,∴ ∠FAE = ∠CEB, ∴ AF∥EC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形; (2) 解:由折叠的性质得 GE = BE,GC = BC. ∵ △GCE 的周长为 20,∴ GE+CE+GC = 20,∴ BE+ CE+BC = 20. ∵ 四边形 AECF 是平行四边形,∴ AF=CE,AE=CF= 5,∴ 四边形 ABCF 的周长 = AE +BE+BC+AF+CF= 5+20+5 = 30. 13. S2 +S4 =S1 +S3 14. 15 3 2 　 【解析】 过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,∵ ∠DAB= 60°,∴ ∠ADH = 30°,∴ AH = 1 2 AD = 3,∴ DH= 3 3 ,∴ S▱ABCD = 10 × 3 3 = 30 3 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD, AO = CO, ∴ ∠BAC = ∠DCA, 在 △AOF 和 △COE 中, ∠BAC= ∠DCA AO=CO ∠AOF= ∠COE ì î í ïï ï ,∴ △AOF ≌ △COE ( ASA), ∴ S△AOF =S△COE,∴ S阴影 =S△COD = 1 4 S▱ABCD = 15 3 2 . 追梦期末达标测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D D B A A A C D 1. C　 2. C　 3. D 4. D　 【解析】由 2x+1>3,得 x>1,由 1-x<-m,得 x>1 +m,由不等式组解集在数轴上的表示知,该不等式 组的解集为 x>1,则 1+m≤1,解得 m≤0. 故选 D. 5. B　 6. A 7. A 　 【解析】 ∵ AB = AC,AD 平分∠BAC,∴ AD 是 △ABC 中 BC 边上的中线,点 D 是 BC 的中点. ∵ 点 E 为 AC 的中点,∴ CE = 1 2 AC = 15 2 ,DE 是△ABC 的中位线,∴ DE = 1 2 AB = 15 2 . ∵ △CDE 的周长为 24,∴ CD= 9,∴ BC= 2CD= 18. 故选 A. 8. A　 【解析】∵ 五边形的内角和等于 540°,∠A+∠B 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 23 页