追梦专项总结突破卷(三)因式分解-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年八年级下册数学（北师大版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(三) 因式分解 题型一　 因式分解的概念及应用 1. 下列等式从左到右的变形,是因式分解的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (2x+y)(2x-y)= 4x2 -y2 B. x2 -4x+4 = (x-2) 2 C. x2 +4x+5 = (x+2) 2 +1 D. 10xy2 = 2x·5y2 2. 多项式:①16x2 -8x;②(x-1) 2 -4(x-1) + 4;③( x+ 1) 4 - 4x( x+ 1) 2 +4x2;④- 4x2 - 1 + 4x 分解因式后,结果中含有相同因式的 是(　 　 ) A. ①和② B. ③和④ C. ①和④ D. ②和③ 3. 计算( -2) 99 +( -2) 100 的结果是(　 　 ) A. 2 B. -2 C. 299 D. -299 4. 若多项式 x2 +2(m-2) x+25 能用完全平方公式因式分解,则 m 的值为　 　 　 　 . 5. 已知 a-b= 3,ab= -2,则 a2b-ab2 的值为　 　 　 　 . 题型二　 分解因式的常见方法 方法 1　 提公因式法与公式法 6. 因式分解: (1)2x2y3 -3x2y5;　 　 　 　 　 (2)6(n-m) -12(m-n) 2 . (3) -2x2y+12xy-18y; (4)3x3 -12xy2; 方法 2　 分组分解法 7. 阅读下列材料: 一般地,没有公因式的多项式,当项数为四项或四项以上时,经 常把这些项分成若干组,然后各组运用提取公因式法或公式法 分别进行分解,之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进 行分解,这种因式分解的方法叫做分组分解法. 如: 因式分解:am+bm+an+bn = (am+bm) +(an+bn)= m(a+b) +n(a +b)= (a+b)(m+n) . 利用分组分解法分解因式: (1)3m-3y+am-ay;　 　 　 　 (2)a2x+a2y+b2x+b2y. 方法 3　 十字相乘法 8. 阅读下列材料,回答问题. (1)形如 x2 +(p+q) x+pq 型的二次三项式,有以下特点:①二次 项系数是 1;②常数项是两个数之积;③一次项系数是常数项的 两个因数之和. 把这个二次三项式进行因式分解,可以这样来解: x2 +(p+q)x+pq= x2 +px+qx+pq= (x2 +px) +(qx+pq)= x(x+p) +q(x +p)= (x+p)(x+q) . 因此,可以得 x2 +(p+q)x+pq= 　 　 　 　 . 利用上面的结论,可以直接将某些二次项系数为 1 的二次三项 式分解因式; (2)利用(1)中的结论,分解因式: ①m2 +7m-18 = 　 　 　 　 ;　 ②x2 -2x-8 = 　 　 　 　 ; ③x2y2 -7xy+10 = 　 　 　 　 . 方法 4　 换元法 9. 阅读材料,并解决问题:分解因式:(a+b) 2 +2(a+b) +1. 解:设 a+b= t,则原式= t2 +2t+1 = ( t+1) 2 = (a+b+1) 2;这样的解 题方法叫做“换元法”,即当复杂的多项式中,某一部分重复出 现时,我们用字母将其替换,从而简化这个多项式. 换元法是一 个重要的数学方法,不少问题能用换元法解决. 请你用“换元 法”对下列多项式进行因式分解: (1)(m+n) 2 -10(m+n) +25; (2)(x2 -6x+8)(x2 -6x+10) +1. 分式的相关计算及分式方程的应用 题型一　 分式的化简求值 类型 1　 直接代入法 1. 先化简,再求值:( 3 x+1 - 1 x-1 ) ÷x -2 x-1 ,其中 x= -2. 2. 先化简,再求值:m 2 +2m+1 m2 -1 ÷( 1 m +1) +m -3 m-1 ,其中 m= 2. 类型 2　 整体代入求值 3. 已知 1 a - 1 b = 4,求 a +ab-b 2a-3ab-2b 的值. 4. 已知 a2 +2a= 4,求 1 a+1 - 1 a2 -1 ÷ a+1 a2 -2a+1 的值. ·33· 类型 3　 根据分式的定义选择合适的值代入求值 5. 先化简m 2 -4m+4 m-1 ÷( 3 m-1 -m-1) . 然后在 1≤m<4 的解集中选择 一个合适的整数代入求值. 6. 先化简( 1 a-1 - 1 a+1 ) ÷ a 2a2 -2 ,然后从不等式组 1 2 x-1≤0 -3x<6 ì î í ï ï ï ï 的整数 解中选择一个合适的数作为 a 的值代入求值. 7. 化简 a a2 -4 · a +2 a2 -3a - 1 2-a ,并求值,其中 a 与 2、3 构成△ABC 的三 边,且 a 为整数. 题型二　 与分式方程的解的情况有关的含参问题 类型 1　 由特殊解确定字母的取值范围 解题技巧:由特殊解确定字母的取值范围的一般步骤如下:(1) 用含有字母的式子表示方程的解;(2)由分式方程的解为特殊 解列出关于字母的不等式,求出解集;(3)由分式方程的解必须 使分母不为 0,列出关于字母的不等式,求出解集;(4)求(2) (3)两个解集的公共部分即可. 8. 已知关于 x 的分式方程 m x-1 +2 = - 3 1-x 的解为非负数,则正整数 m 的所有个数为(　 　 ) A. 3　 　 　 　 B. 4　 　 　 　 C. 5　 　 　 　 D. 6 9. 已知关于 x 的分式方程 x x-2 -4 = k 2-x 的解为正数,则 k 的取值范 围是(　 　 ) A. -8<k<0 B. k>-8 且 k≠-2 C. k>-8 且 k≠2 D. k<4 且 k≠-2 类型 2　 与不等式组的解集结合确定字母的取值范围 解题技巧:与不等式组的解集组合,确定字母的取值的一般步 骤如下:(1)由分式方程的特殊解确定字母的取值范围(方法同 类型 1);(2)由不等式组的解集确定字母的取值范围;(3)由 (1)和(2)中两个解集确定字母参数的取值. 10. 若整数 k 使关于 x 的一元一次不等式组 x+4<3x-2① x>k②{ 的解集 是 x>3,且使关于 y 的分式方程3y -5 y-2 + k 2-y = 1 有非负整数解, 则符合条件的所有整数 k 的值之和为(　 　 ) A. -4 B. -1 C. 0 D. 2 类型 3　 由无解确定字母的取值 方法指导:分式方程无解有两种情况,(1)去分母后化成的整式 方程有解,但这个解使最简公分母为 0;(2)去分母后化成的整 式方程无解,即 ax= b 中,a= 0 且 b≠0;不要漏掉任何一种情况. 11. 若关于 x 的方程 2 x = m 2x+1 无解,则 m 的值为(　 　 ) A. 0 B. 4 或 6 C. 6 D. 0 或 4 12. 若关于 x 的分式方程m +4 x-3 = 3x x-3 +2 有增根,则 m 的值为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 题型三　 分式方程的实际应用 13. 近日,教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022 年 版),将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来. 某中学 为了让学生体验农耕劳动,开辟了一处耕种园,需要采购一批 菜苗开展种植活动. 据了解,市场上每捆 A 种菜苗的价格是菜 苗基地每捆价格的 5 4 倍,用 300 元在市场上购买的 A 种菜苗比 在菜苗基地购买的少 3 捆. (1)求菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格. (2)菜苗基地每捆 B 种菜苗的价格是 30 元. 学校决定在菜苗 基地购买 A,B 两种菜苗共 100 捆(两种菜苗都购买),且 A 种 菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数. 菜苗基地为支持该校活 动,对 A,B 两种菜苗均提供九折优惠. 求本次购买最少花费多 少钱. 14. 夏季即将来临,空调的销售逐渐火起来,某商场去年 7 月份销 售某品牌 A 型号空调总额为 32 万元,由于原材料涨价,今年该 型号空调销售单价比去年提高了 400 元. 若今年 7 月份与去年 7 月份该型号空调销售量相同,则今年 7 月份该型号空调的销 售总额将增加 25%. 该品牌 A,B 两种型号空调的进货和销售 价格表如下: A 型号 B 型号 进货价格(元 / 台) 1 100 1 400 销售价格(元 / 台) 今年的销售价格 2 400 (1)求今年 7 月份该品牌 A 型号空调的销售单价; (2)商场准备购入该品牌 A 型号空调和 B 型号空调共 400 台 (两种型号均购入),且 B 型号空调进货数量不超过 A 型号空 调数量的 2 倍,应如何进货才能使这批空调获利最多? ·43· 追梦专项总结突破卷(三) 1. B 2. C　 【解析】①16x2 -8x = 8x(2x-1);②(x-1) 2 -4(x- 1)+4 =(x-1-2)2 =(x-3)2;③(x+1) 4 -4x(x+1)2 + 4x2 =[(x+1)2 -2x]2 =(x2 +1)2;④-4x2 -1+4x= -(2x -1)2;∴ 结果中含有相同因式的是①和④;故选 C. 3. C　 【解析】原式 =(-2)99 +(-2) 99 ×(-2)= (-2)99 × (1-2)= 299,故选 C. 4. 7 或-3　 【解析】∵ 多项式 x2 +2(m-2)x+25 能用完 全平方公式因式分解,∴ 2(m-2)= ±10,解得 m = 7 或-3. 5. -6 6. 解:(1)原式= x2y3(2-3y2); (2)原式= 6(n-m) -12(n-m)2 = 6(n-m)[1-2(n- m)] = 6(n-m)(1-2n+2m); (3)原式= -2y(x2 -6x+9)= -2y(x-3) 2; (4)原式= 3x(x2 -4y2)= 3x(x+2y)(x-2y) . 7. 解:(1)原式 = (3m-3y) +( am-ay) = 3(m-y) +a (m-y)= (m-y)(3+a); (2)原式= (a2x+a2y) +(b2x+b2y)= a2(x+y) +b2(x+ y)= (x+y)(a2 +b2) . 8. (1)(x+p)(x+q) (2)①(m-2)(m+9)　 ②(x+2)(x-4) ③(xy-2)(xy-5) 9. 解:(1)设 m+n= t,则(m+n) 2 -10(m+n) +25 = t2 - 10t+25 = ( t-5) 2 = (m+n-5) 2 . (2)设 x2 -6x+8 = t,则(x2 -6x+8)(x2 -6x+10) +1 = t ( t+2) +1 = t2 +2t+1 = ( t+1) 2 = (x2 -6x+8+1) 2 = (x2 -6x+9) 2 = (x-3) 4 . 分式的相关计算及分式方程的应用 1. 解:原式 = 3(x -1) -(x+1) (x+1)(x-1) ·x -1 x-2 = 2(x-2) (x+1)(x-1) · x-1 x-2 = 2 x+1 ,当 x= -2 时,原式= 2-2+1 = -2. 2. 解:原式= (m +1)2 (m+1)(m-1) ÷1+m m +m-3 m-1 =m+1 m-1 · m m+1 + m-3 m-1 = m m-1 +m-3 m-1 = 2m-3 m-1 ,当 m = 2 时,原式 = 2 ×2-3 2-1 = 1. 3. 解:∵ 1 a - 1 b = b-a ab = 4,∴ b-a = 4ab,即 a-b = -4ab, ∴ 原式= (a -b) +ab 2(a-b) -3ab = -4ab+ab -8ab-3ab = -3ab -11ab = 3 11 . 4. 解:原式 = 1 a+1 - 1 (a+1)(a-1) · (a -1) 2 a+1 = 1 a+1 - a-1 (a+1) 2 = 2 (a+1) 2 ,当 a2 +2a = 4 时,(a+1) 2 = a2 + 2a+1 = 5,∴ 原式= 2 5 . 5. 解:原式 = (m -2) 2 m-1 ÷3-(m+1)(m-1) m-1 = (m-2) 2 m-1 · m-1 3-m2 +1 = (m-2) 2 (2+m)(2-m) = 2-m 2+m ,∵ 1≤m<4,m-1≠ 0,(2+m)(2-m)≠0,∴ m≠1,m≠±2,m 可以取整 数 3,∴ 当 m= 3 时,原式= 2 -3 2+3 = - 1 5 . 6. 解: 原 式 = a +1-(a-1) a2 -1 · 2(a 2 -1) a = 2 a2 -1 · 2(a2 -1) a = 4 a ,解不等式组 1 2 x-1≤0 -3x<6 ì î í ïï ï ,得-2<x≤ 2,∵ a-1≠0,a+1≠0,a≠0,∴ a≠±1,a≠0,∴ 当 a= 2 时,原式= 4 2 = 2. 7. 解: 原 式 = a (a+2)(a-2) · a +2 a(a-3) + 1 a-2 = 1 (a-2)(a-3) + 1 a-2 = 1+a-3 (a-2)(a-3) = a-2 (a-2)(a-3) = 1 a-3 ,∵ a 与 2、3 构成△ABC 的三边,∴ 3-2<a<3 +2,∴ 1<a<5.又∵ a+2≠0,a-2≠0,a-3≠0,a≠0, ∴ a≠±2 且 a≠0 且 a≠3. ∵ a 为整数,∴ 当 a = 4 时,原式= 1 4-3 = 1. 8. B　 【解析】解分式方程,得 x= 5 -m 2 . ∵ 分式方程的 解为非负数,∴ 5 -m 2 ≥0 且5 -m 2 ≠1,解得 m≤5 且 m≠3,∴ 正整数解有 1,2,4,5 共 4 个. 故选 B. 9. B　 【解析】解分式方程,得 x = k +8 3 ,由分式方程的 解为正数,得到k +8 3 >0,且k +8 3 ≠2,解得 k>-8 且 k ≠-2. 故选 B. 10. B　 【解析】解不等式①的解集为 x>3,不等式② 的解集为 x>k,若整数 k 使关于 x 的一元一次不 等式组 x+4<3x-2 x>k{ 的解集是 x>3,∴ k≤3. ∵ 关于 y 的分式方程3y -5 y-2 + k 2-y = 1 的解是 y = 3 +k 2 ,是非 负整数解,∴ k= 3 或 k= 1 或 k = -1 或 k = -3,当 k = 1 时,y= 2 是方程的增根,舍去,∴ k= 3 或 k= -1 或 k= -3,∴ 符合条件的所有整数 k 的值之和为 3 -1-3 = -1. 故选 B. 11. D　 【解析】解分式方程,得(4-m) x = -2. ∵ 方程 无解,∴ 4-m= 0 或 2x+1 = 0,即 m = 4 或 x = - 1 2 , 将 x= - 1 2 代入(4-m) x = -2,解得 m = 0,∴ m = 4 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 21 页 或 m= 0. 故选 D. 12. D 13. 解:(1)设菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格是 x 元. 根据题意得 300 x = 300 5 4 x +3,解得 x = 20,经检验,x = 20 是原方程的解,即菜苗基地每捆 A 种菜苗的价 格是 20 元; (2)设购买 A 种菜苗 m 捆,则购买 B 种菜苗(100 -m)捆,由题意,得 m≤100-m,解得 m≤50,设本 次购买花费 w 元,∴ w = 20×0. 9m+30×0. 9(100- m)= -9m+2700. ∵ -9<0,∴ w 随 m 的增大而减 小,∴ m = 50 时,w 取最小值,最小值为- 9 × 50 + 2700 = 2250(元),即本次购买最少花费 2250 元. 14. 解:(1)设今年 7 月份该品牌 A 型号空调的销售单 价为 x 元,则去年 7 月份该品牌 A 型号空调的销售 单 价 为 ( x - 400 ) 元, 依 题 意 得 320000 x-400 = 320000×(1+25%) x ,解得 x = 2000,经检验,x = 2000 是原方程的解,且符合题意,即今年 7 月份该品牌 A 型号空调的销售单价为 2000 元. (2)设购进 A 型号空调 m 台,则购进 B 型号空调 (400-m) 台,依题意得 400 -m≤2m,解得 m≥ 400 3 . 设购进的这批空调全部售出后获得的利润 为 w 元,则 w = ( 2000 - 1100) m + ( 2400 - 1400) (400-m)= -100m+400000. ∵ -100<0,∴ w 随 m 的增大而减小,又∵ m≥400 3 ,且 m 为正整数,∴ 当 m= 134 时,w 取得最大值,此时 400-m = 400- 134 = 266. 即当购进 A 型号空调 134 台,B 型号空 调 266 台时,才能使这批空调获利最多. 追梦专项总结突破卷(四) 1. (1)证明:在▱ABCD 中,AB = CD,AB∥CD. ∵ E、F 分别是 AB、CD 的中点,∴ BE = 1 2 AB,DF = 1 2 CD. ∴ BE=DF. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形. (2)解:∵ AD=AE,∠A= 60°,∴ △ADE 是等边三角 形. 过点 D 作 DM⊥AB 交于点 M,∴ ∠DMA = 90°, ∠ADM= 30°,∴ AM = 1 2 AD = 1,DM = AD2 -AM2 = 3 . ∵ E 为 AB 的中点,∴ BE=AE= 2,∴ S四边形EBFD = DM·BE= 2 3 . 2. (1)证明:连接 BD、AE. ∵ FB = CE,∴ BC = EF,又 ∵ AB∥ED,AC∥FD, ∴ ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE,在△ABC 和△DEF 中, ∠ABC= ∠DEF BC=EF ∠ACB= ∠DFE ì î í ïï ï , ∴ △ABC≌ △DEF ( ASA), ∴ AB = DE,又∵ AB∥ DE,∴ 四边形 ABDE 是平行四边形,∴ AD 与 BE 互 相平分; (2)解:∵ FB=CE,∴ BE= 2BF+FC,∴ BF= 3,∴ AC =BF= 3,BC=BF+FC = 5. ∵ AB⊥AC,∴ 由勾股定 理得 AB= BC2 -AC2 = 52 -32 = 4. 3. 解:(1) A′C∥BD,△BOD 为等腰三角形. 理由如 下:由折叠知,∠ABD= ∠A′BD,AB=A′B. ∵ 四边形 ABCD 平行四边形,∴ AB∥CD,AB =CD,∴ ∠ABD= ∠CDB,A′B = CD,∴ ∠OBD = ∠ODB,∴ OB = OD, ∴ △BOD 为等腰三角形. ∵ A′B =CD,∴ A′B-OB = CD- OD, 即 OA′ = OC, ∴ ∠OA′ C = ∠OCA′. ∵ ∠BOD= ∠A′OC,∠BOD+∠OBD+∠ODB= ∠A′OC +∠OCA′+∠OA′C = 180°,∴ ∠ODB = ∠OCA′,∴ A′ C∥BD; (2)AD = 4-2 3 或 2 3 -2. 　 【解析】当∠A′DO = 90°时. ∵ ∠OA′D = ∠A = 60°,∴ ∠A′OD = 30°. 设 AD = A′D = x,则 A′O = 2A′D = 2x,DO =BO = 3 x. ∵ A′O+BO=A′B = 2,∴ 2x+ 3 x = 2,解得 x = 4-2 3 , ∴ AD= 4 - 2 3 ;当∠A′OD = 90°时. ∵ CD∥AB,∴ ∠ABA′= ∠A′OD= 90°,∴ ∠ABD= 1 2 ∠ABA′= 45°. 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,∴ DE=BE. 设 AD= x,则 AE= 1 2 AD= 1 2 x,DE=BE= 3 2 x. ∵ AE+BE = AB = 2, ∴ 1 2 x+ 3 2 x= 2,解得 x = 2 3 -2,∴ AD = 2 3 -2;综 上,AD= 4-2 3 或 2 3 -2. 4. (1) 证明:∵ D、E 分别为 AB、AC 的中点,∴ DE∥ BC. ∵ EF∥CD,∴ 四边形 DEFC 是平行四边形,∴ DE=CF. (2) 解:∵ 四边形 DEFC 是平行四边形,∴ DC = EF. ∵ D 为 AB 的中点,AB= 2,∴ AD=BD= 1,CD⊥ AB,BC= 2,∴ DC=EF= 3 . 5. (1)证明:∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠B = ∠ACD = 60°, AC = BC, 在 △ACD 和 △CBF 中, AC=BC ∠ACD= ∠B, CD=BF ì î í ïï ï ∴ △ACD≌△CBF(SAS); (2) 解:D 在线段 BC 上任意位置(但 D,C 不重 合),四边形 CDEF 是平行四边形. ∵ △ACD ≌ △CBF,∴ ∠BCF = ∠DAC,AD = CF. ∵ AD = DE,∴ DE = CF. ∵ ∠ACD + ∠DAC = ∠ADE + ∠BDE = ∠ADB,∠ACD = ∠ADE = 60°,∴ ∠DAC = ∠BDE. ∵ ∠BCF = ∠DAC,∴ ∠BDE = ∠BCF,∴ DE∥CF. ∵ DE=CF,∴ 四边形 CDEF 是平行四边形. 6. 解:(1) 存在, t = 4 秒或 12 秒;理由如下:①当点 Q、E 在线段 BC 上时,若以 A,B,E,P 为顶点的四 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 22 页