第六章 计数原理（章末小结）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

章末小结 选修第三册 第六章《计数原理》 1 知识网络 知识梳理——1.两个计数原理 分类加法计数原理： 完成一件事有2类不同的方案，第1类方案有m种方法；第2类方案有n种方法； 则完成该事共有m+n种方法. 分步乘法计数原理： 完成一件事有2个步骤， 第1步有m种方法；第2步有n种方法； 则完成该事共有m×n种方法. 无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数. 两类方案中的方法各不相同，用任何一种方法都可以完成这件事. 分类时要“不重不漏”： ①类与类之间要互斥(保证不重复)； ②总数要完备(保证不遗漏)． 知识梳理——2.排列数和组合数 排列数：(p≤n) 从n个不同元素中取出p个元素，按一定的顺序排成一列，叫做n取p的一个排列. 组合数： (p≤n) 从n个不同元素中取出p个元素作为一组，叫做n取p的一个组合． 知识梳理——3.1二项式定理的展开式 知识梳理——3.2二项式系数的性质 方法归纳——1.常见的计数问题及方法 多面手问题：选定一个类型的单面手，以其入选人数分类 组数/排队问题：优先考虑特殊位置或特殊元素 (个位的奇偶/首位不为0/排头排尾等) 至多/至少问题：正难则反，总方法数－反面方法数 不相邻问题：插空法 相邻问题：捆绑法 相同元素分组：隔板法(n个相同元素分k份，需k－1块不相邻的隔板放入n个空隙) (适用于相同物品或实习/参赛名额等的分组分配) 不同元素的分组： ①完全不均匀分组：各组分步选取 ②完全均匀分n组：各组分步选取，除以n! ③部分均匀分组：各组分步选取，有k组均匀, 则除以k! 先分组后排列 定序问题：除阶乘法(所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数) 方法归纳——2.涂色/种植问题常见方法 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题， 用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． (4)种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数． 方法归纳——3.二项式展开式的系数和问题 求展开式中各项的二项式系数和或系数和、奇数项或者偶数项的二项式系数和或系数和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过特殊化思想求解，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果． 典例归纳——1.二项式的展开式 常数项：字母的指数是0的项 有理项：字母的指数是整数的项 典例归纳——1.二项式的展开式 典例归纳——2.多项式的展开式 典例归纳——3.二项式展开式的系数和问题 答案:－1 赋值法 END ＝＝＝ 如： ①＝1 ②＝1 ③＝ 如：＝，＝ ④ 如：+＝ ＝ ＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－p＋1)＝ 如： ①＝n!＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1 如： ②0!＝0 二项式定理：(a＋b)n＝an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bn (n∈N*) (1)展开式共n＋1项；各项次数均为n次 (2)通项（第k＋1项）：Tk＋1＝an－kbk (a，b不能互换) 如：(2＋x)8展开式的第4项为25x3； (x＋2)8展开式的第4项为x523 (3)令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xk＋…＋xn 展开式中各项的二项式系数：，，…， (与a，b无关) 如：(1＋2x)8的展开式中第6项的二项式系数为＝56 (1)与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即＝ 如：(1＋2x)n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则n＝10. (2)二项式系数的和：＋＋＋…＋＝2n (3)奇偶数项的二项式系数和相等，即＋＋＋…＝＋＋＋…＝ (4)的最大值：中间项的二项式系数最大； n为偶数时，中间一项最大；n为奇数时，中间两项＝最大 (5)的单调性：k＜时递增；k＞时递减 (6) 令k＝5，则第6项为＝－56＝－56 第6项的二项式系数为＝56 第6项的系数为＝－56 展开式共9项，中间项为第5项＝70＝70 令8－＝0，得k＝6，∴常数项为＝28 即中间项，为第5项70＝70 [典例1](x－)n的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等， (1)求n的值； (2)求展开式的第6项； (3)求展开式的第6项的二项式系数； (4)求展开式的第6项的系数； (5)求展开