专题1.9 平行线章末必考压轴题（7个专题培优）2023—2024学年浙教版数学七年级下册培优提分攻略

专题1.9 平行线章末必考压轴题（7个专题培优） 压轴01 相交线中求角度综合问题 相交线求角度问题常用性质定理： ①角平分线性质；②对顶角性质；③同角或等角的余角相等；④③同角或等角的补角相等； 解题思路： 先利用角度的和差关系表示出所求角度；再利用性质定理及已知角度求出角度。 【例1】直线，相交于点，于点，作射线，且在的内部． (1)当点，在直线的同侧； ①如图1，若，，求的度数； ②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【练习1-1】如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=∠AOD． (1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数； (2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB， ①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）； ②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． (3)如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． 【练习1-2】如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一个三角板的直角顶点放在O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转： (1)如图2，当旋转到的反向延长线上时，______； (2)如图3，当平分时，求的度数； (3)若在直线上方，，请直接用含a的式子表示． 【练习1-3】如图，点是直线上一点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处（注：），且直角三角板始终保持在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数=______； (2)如图2，若直角三角板的边在的内部．当平分时，试判断平分吗？并说明理由． (3)若，求的度数． 压轴02 平行线中求角度综合问题 平行线辅助线 平行线中常用辅助线即为过拐点作已知直线的平行线，再利用平行线的性质即可解决90%以上平行线难题。 【例2】已知，，、分别为直线、上的点，为平面内任意一点，连接、． (1)如图（1），请直接写出、与之间的数量关系． (2)如图（2），过点作、交直线上的点、，点在上，过作，求证：． (3)如图（3），在（2）的条件下，若，，求的度数． 【练习2-1】已知直线，点，分别在直线，上． (1)如图①，当点在直线，之间时，连接，．探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在①的条件下，平分，平分，交点为．求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当点在直线，的下方时，连接，平分，平分，的反向延长线交于点．若时，求的度数． 【练习2-2】已知：，、是上的点，、是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，为的角平分线，交于点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点，若平分，且比的多，求的度数． 【练习2-3】已知：直线，点M、N分别在直线、直线上，点E为平面内一点，    (1)如图1，请写出之间的数量关系，并给出证明； (2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若，平分，平分，，求的度数； (3)如图3，点G为上一点，，， 交于点H，请写出，，之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明． 压轴03 平行线中拐点问题 平行线辅助线 平行线中常用辅助线即为过拐点作已知直线的平行线，再利用平行线的性质即可解决90%以上平行线难题。 常用平行线模型 靴子模型 蛇形模型 鹰嘴模型 猪蹄模型 铅笔模型 【练习3-1】先阅读再解答： (1)如图1，，试说明：； (2)已知：如图2，，求证：； (3)已知：如图3，，．求证：． 【练习3-2】综合与实践 (1)问题情境：图中，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为______；（直接写出答案） (2)问题迁移：图中，直线，为平面内一点，连接、．若，，试求的度数； (3)问题拓展：图中，直线，则、、之间的数量关系为______． 【练习3-3】如图1，小明和小亮在研究一个数学问题： (1)已知：ABCD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系． 小明是这样证明的：请填写理由 证明：过点P作PQAB ∴∠APQ=∠A（ ） ∵PQAB，ABCD． ∴PQCD（ ） ∴∠CPQ=∠C（ ） ∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C (2)在图2中，AB