第四单元 第21讲 正弦定理、余弦定理-安徽省2024年中职数学复习资料

一鸣教育·中职数学 第21讲正弦定理和余弦定理 ◎考情速递◎ 年份（年） 2023 2022 2021 2020 2019 考点 余弦定理 正孩定理 余弦定理 余孩定理 余弦定理 备注 大边对大角 自主预习用 知识梳理 夯实基础 知识点1三角形有关性质 1.在△ABC中，A+B+C=π：a+b>c,a-b<c:a>b曰→sinA>sinB=A>B: 2.三角形面积公式：S6x=2h=2 ubsin C=-之acsin B=之esinA: 3.在三角形中有：sin2A=sim2B=A=B或A十B-受曰三角形为等腰或直角三角形：sin(A十B) =nC.eosA+B)=-osC,mA生B=cos C 2 知识点2正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a=+-2csin A 内容 b sin A sin B-sin C-2R =a+2-2acsin B =u+l-2alrsin C Da-=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C: osA=片+2-a 变形 录nB-条血C录 ②sinA= 2 csB=4+2- 形式 ab:c=sin A i sin B:sin C: 2ac utbte ④nA十snB叶sin Csin cos C=4t-e 2ab. ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边： 解决 ①已知三边，求各角： ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他 的问题 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角， 两角. 知识点3解斜三角形的类型 1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解： 2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在△ABC中，已知a、b和 ·80… 第四单元三角函数 角A时，解的情况如下： A为锐角 A为纯角或直角 s 关系式 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<h a≥b a>h 解个数 无解 一解 两解 一解 一解 上表中，A为锐角，a<bsin A时，无解：A为钝角或直角时，a=b或a<b均无解. 知识点4三角形常用面积公式 边长，r是三角形ABC的内切圆半径)： 1.S=2×底×高： 4S-资（其中，a,b,c是三角形ABC的各边 2.5= lnin C-csin B-sin A 长，R是三角形ABC的外接圆半径). 3.S= 2a+b叶c)ra,c是三角形ABC的各 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一利用正余弦定理解三角形 【答案】(1)b=5V6,(2)sinB=0,(3) 7 在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理 △ABC为钝角三角形. 结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化 运算过程，提高解题速度，同时要挖掘题目中的 【解析】1)由正弦定理得in B sin C,又B 隐含条件，解题时，要综合、灵活地运用两个定 =180°-(A+C)=180°-(75°+45)=609 理，认真分析已知条件，选择需要先解的三角形 和相关定理，并结合三角形的有关性质，如大边 得，b=csin B 10X sin C 2=56. 对大角、内角和定理等.注意数形结合，正确地 2 求解三角形，防止出现漏解或增解的情况 b a 【典例1】在△ABC中： (2)由正弦定理得，sin B sin A,故sinB= (1)c=10,A=75°，C=45°，求b: bsin A_28sin30°_7 20 10 (2)a=20,c=28,A=30°，求sinB: (3)令a=2k,b=6k,c=(√3+1)k(k>0), (3)a:b:c=2：√6：(3十1)，求角A、 B、C: 由余弦定理的推论得cosA=+2一@ 2bc (4)a=7,b=10,c=6,判断△ABC的形状. 6k+(3+1)22-4k= 2V6(W3+1)k 2, ·81· 一鸣教育·中职数学 .A=45°，同理B=60°，C=180°-A-B= 的解的情况是无解，故选：C 75°，∴.A=45°，B=60°，C=75. 【变式训练二】在△ABC中，a=18,b=24,∠A (4).b>a>c,..B最大 =45°，此三角形解的情况为 () 由余弦定理的推论得cosB=Q+2一： A.一个解 B.二个解 2ac C.无解 D.无法确定 72+62-102 2×7×6 题型三三角形形状的判定 ∴.90°<B<180°，.△ABC为钝角三角形. 依据已知条件中的边角关系判断三角形的 【变式训练一】 形状时，主要有如下两种方法： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关 1.在△ABC中，已知a=13,b=4,c=3,则 系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系， cos A= 从而判断三角形的形状； A司 C.2 n号 (2)利用正，余弦定理把已知条件转化为内角的 2.记△