第二章 第2讲 函数的单调性与最大（小）值-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第2讲　函数的单调性与最大（小）值 ⁠ 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ⁠ [对应学生用书P23] f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 单调递增 单调递减 区间I f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M ⁠⁠ ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数. （　　） 答案　（1）×　 （2）函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）. （　　） 答案　（2）×　 （4）对于函数f（x），x∈I，若对任意x1，x2∈I，且x1≠x2，有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，则函数f（x）在区间I上是增函数. （　　） 答案　（4）√ （3）函数y＝的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）. （　　） 答案　（3）×　 ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P81练习T3改编）设函数f（x）＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝ （　　） A.4 B.6 C.10 D.24 解析　因为f（x）＝＝2＋，所以f（x）在[3，4]上是减函数. 所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6.所以M＋m＝6＋4＝10. 答案　C 3.（人A必修第一册P79例3改编）函数y＝的单调增区间为 （　　） A. B. C.和 D.∪ 解析　由4＋3x－x2≠0可得x≠－1且x≠4，因为y＝4＋3x－x2开口向下，其对称轴为x＝，所以y＝4＋3x－x2的减区间为和，所以y＝的单调增区间为和. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（忽视函数的定义域致错）函数y＝f（x）为定义在上的增函数，且 f（2m）＞f（－m＋1），则实数m的取值范围是 　　　　⁠.  解析　由题意得解得＜m＜1.所以实数m的取值范围是. 答案　. 5.（混淆函数的单调区间和在某区间上单调）若函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是 　　　　⁠.  解析　∵f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3的开口向下， 对称轴方程为x＝－（a＋1），要使f（x）在（－∞，3]上是增函数， 只需－（a＋1）≥3，即a≤－4，∴实数a的取值范围为（－∞，－4]. 答案　（－∞，－4] ⁠ [对应学生用书P24] （2）讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（－1，1）上的单调性. 解　任取x1，x2∈（－1，1），且x1＜x2，f（x）＝＝a，则 f（x1）－f（x2）＝a－a＝， 当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在区间（－1，1）上单调递减； 当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在区间（－1，1）上单调递增. ⁠ 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.（1）函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. （2）函数y＝f（g（x））的单调性应根据外层函数y＝f（t）和内层函数t＝g（x）的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”. 变式训练 1.已知函数f（x）＝－x＋2x，则下列结论正确的是 （　　） A.递增区间是（0，＋∞） B.递减区间是（－∞，－1） C.递增区间是（－∞，－1） D.递增区间是（－1，1） 解析　因为函数f（x）＝－x＋2x＝作出函数f的图象， 如图所示： 由图可知，递增区间是（－1，1），递减区间是（－∞，－1）和. 答案　D 2.（多选）下列函数f中，满足对任意x1，x2∈，有＜0的是（　　） A.f＝－2－2 B.f＝ C.f＝1＋ D.f＝ 解析　对任意x1，x2∈（1，＋∞），有＜0，则函数在区间（1， ＋∞）上为减函数， 对于A，f＝－2－2，由二次函数的图象与性质可知满足题意，故A可选； 对于B，f＝，根据幂函数的性质，函数在区间（1，＋∞）上为增函数，故B不可选； 对于C，f＝1＋，函数在区间（1，＋∞）上为减函数，故C可选； 对于D，f＝＝显然函数在区间（1，＋∞）上不是单调函数，故D不可选.故选AC. 答案　AC （2）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f（x）＝－x＋3， g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是 　　　　⁠.  解析　法一　在同一坐标系中， 作函数f（x），g（x）的图象，依题意，h（x）