5.1.1变化率问题（1）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1变化率问题 5.1导数的概念及其意义 为了描述现实世界中运动、变化着的现象,在数学中引入了函数.随着对函数的研究的不断深化,在十七世纪中叶产生了微积分,它是数学史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑. 序言 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度,反之,已知物体的加速度作为时间的函数,求速度与路程; 二、求曲线的切线; 三、求函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等. 几百年中,科学家们对这些问题的兴趣与研究经久不衰.终于,在十七世纪中叶,牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上,凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力,各自独立地创立了微积分. (1646.7.1 — 1716.11.14) (1643.1.4 — 1727.3.31) 导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 本章,我们将利用丰富的背景与具体实例,学习导数的基本概念、基本运算与思想方法.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的意义。 在必修第一册中,我们研究了函数的单调性,并利用函数单调性等知识,定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异,知道“对数增长” 是越来越慢的,“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多,进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢?下面我们就来研究这个问题。 新知引入 5.1导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 什么是变化率? 一个变量相对另一个变量的变化而变化的 快慢程度叫做变化率 选修第二册 《第五章 一元函数的导数及其应用》 5.1.1 变化率问题 教材P59探究:在一次跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+2.8t+11. 如何用运动员在某些时间段内的平均 速度粗略地描述其运动状态? 请计算 h t o 问题1:跳水运动员的速度 可以把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 问题2:你能否根据经验描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度? 析:在上升阶段越来越慢 在下降阶段越来越快 在上升阶段越来越慢 在下降阶段越来越快 这段时间里的平均速度为0 显然,在这段时间内,运动员并不处于静止状态.因此,用平均 速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 运动员在这段时间里并不处于静止状态. 为了精确刻画运动员的运动状态,需要引入瞬时速度的概念。 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 探究2:问题5:瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗? 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 观察 给出 更多的值,利用计算工具计算对应的平均速度的值,当 无限趋近于0,平均速度有什么变化趋势? (3)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 问题6:?思考 (1)求运动员在t=0.5s时的瞬时速度. (2)你能否利用上述关系求运动员在t=2s时的瞬时速度? (1)求运动员在t=0.5s时的瞬时速度. 问题6:?思考 (2)你能否利用上述关系求运动员在t=2s时的瞬时速度? (3)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 例1:某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体的初速度和物体在t=1 s时的瞬时速度. 思路:求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度. 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s=s(t),则求物体在t=t0时刻的瞬时速度的步骤如下: 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (3)求瞬时速度v:求极限 (2)求平均速度: (1)写出时间改变量 t,位移改变量 s( s=s(t0+ t)-s(t0)). 方法归纳 瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 课堂小结 升华素养 瞬时速度 平均速度 逼近思想 取极限 本质:瞬时速度是平均速度的极限 平均速度 瞬时速度 2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤: 平均变化率 瞬时变化率 1.物体运动的瞬时速度的本质是平均速度的极限. 无限逼近 取极限 无限逼近 取极限 3.数学思想、方法: 特殊到一般、极限思想 几何意义? 课堂小结 升华素养 LOGO 22 课后作业 2. 教材P70习题5.1T1,2,3,4 1. 教材P61练习T1,2,3 $$