第2讲不等式推理与证明课件-2024届高三数学二轮专题复习必备知识

第2讲　不等式、推理与证明 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一　不等式的解法——明条件，巧转化，数形结合 考点一　不等式的解法——明条件，巧转化，数形结合 导向性 考查数学运算的学科素养． 原则性 考查基础知识，与集合等知识相结合． 1.[2023·福建三模]若a>0，b>0，则“a＋b<2”的一个必要不充分条件是(　　) A. <1 B．ab<1 C. a2＋b2<2 D．< 答案：B 解析：因为a>0，b>0， 对于A，当a＋b<2，取a＝b＝，明显可见，<1不成立，故必要性不成立，A错误； 对于B，当a＋b<2，0<b<2－a，得ab<a(2－a)＝－(a－1)2＋1<1，必要性成立；当ab<1，取a＝2，b＝，明显可见，a＋b>2，则a＋b<2不成立，充分性不成立；则B正确； 对于C，当a＋b<2，取a＝，b＝，明显可见，a2＋b2＝>2，则a2＋b2<2不成立，故必要性不成立，则C错误； 对于D，当a＋b<2成立，则0<a<2－b，明显可见，<成立；当<，两边平方，同样有a＋b<2，充分性也成立，D错误．故选B. 答案：B 3．不等式(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0对一切实数x恒成立，则a的取值范围是(　　) A.1<a<5 B．－5<a<－1 C.－5<a≤－1 D．－3<a≤－1 答案：C 解析：当a＋1＝0，即a＝－1时，(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0可化为－1<0，即不等式－1<0恒成立； 当a＋1≠0，即a≠－1时，因为(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0对一切实数x恒成立，所以， 解得－5<a<－1.综上所述，－5<a≤－1.故选C. 4．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4，1)，则不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0的解集为(　　) A. B. C. 答案：B 解析：由题意知：－4，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个解，代入方程得到⇒b＝3a，c＝－4a，a<0， 不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0可化为3a(x2＋1)－a(x＋3)－4a>0， 即3(x2＋1)－(x＋3)－4<0，解得x∈. 故选B. 答案：C 练后领悟 1．明确解不等式的策略 (1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(＜0)(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集． (2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 警示　解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论． 考点二　基本不等式 ——巧变形，会配凑 考点二　基本不等式——巧变形，会配凑 导向性 综合性强，考查转化思想． 原则性 核心考点，多在知识交汇处命题．注意构造法的应用． 1. [2023·济南市历城第二中学模拟]已知0<x<，则的最小值是(　　) A.5　　　B．6　　　C．7　　　D．8 答案：C 解析：＝＝－1， 因为2x＋1－2x＝1，又0<x<，所以1－2x>0，则－1＝[2x＋(1－2x)]－1＝3＋≥3＋2 ＝7， 当且仅当＝，即x＝时，取等号，即的最小值是7.故选C. 答案：B 3．[2023·河南许昌模拟]若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则的最小值为(　　) A. B． C．2 D．4 答案：D 解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，若直线被截得的弦长为4，说明圆心在直线：2ax－by＋2＝0上，即－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．故选D. 4．[2023·福建宁德模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点)．若＝x＋y，则的最小值为(　　) A.4 B．6 C．8 D．9 答案：C 解析：由题意得：点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点)，则由共线向量定理可知： 设＝λ(0＜λ＜1)，∵＝＝＋λ＝＋λ()＝(1－λ)，∴x＝1－λ，y＝(x＞0，y＞0)， ∴＝＝()[(1－λ)＋λ]＝4＋≥4＋2 ＝8， 当且仅当＝，即λ＝时取等号，故的最小值为8. 5．[2023·甘肃张掖高三期末]在等差数列{an}中an>0，且a1＋a2＋…