2022-2023学年北京市八年级下学期期末汇编--新定义

2022-2023学年北京市初二下期末新定义汇编【学生版】 【海淀】 1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0），给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0﹣x1＝x1﹣x2且y0﹣y1＝y1﹣y2，则称点P为以点（x1，y1）和（x2，y2）为端点的线段的等差点． （1）若线段m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2），则下列点是线段m等差点的有 　 　；（填写序号即可） ①P1（﹣1，6）； ②P2（2，0）； ③P3（4，﹣4）； ④P₄（5，﹣6）． （2）点A，B都在直线y＝﹣x上，已知点A的横坐标为﹣2，M（t，0），N（t+1，1）． ①如图1，当t＝﹣1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标； ②如图2，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围 　 　． 【清华附期末】 2．对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|MA2﹣MB2|＝AB2，则称M为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA＝AB或MB＝AB时，称M为线段AB的等垂点，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（1，1）． （1）如图1，在点C（0，4），D（1，2），E（3，﹣2），F（﹣1，﹣1）中，线段AB的垂点是 　 　； （2）已知点P（t，1），Q（t+2，0）． ①如图2，当t＝0时，若直线y＝﹣x+b上存在线段PQ的等垂点，求b的值； ②如图3，若△ABC边上（包含顶点）存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是 　 　． 【西城】 3．在平面直角坐标系xOy中，对于正方形ABCD和它的边上的动点P，作等边△OPP'，且O，P，P′三点按顺时针方向排列，称点P'是点P关于正方形ABCD的“友好点”．已知A（﹣a，a），B（a，a），C（a，﹣a），D（﹣a，﹣a）（其中a＞0）． （1）如图1，若a＝3，AB的中点为M，当点P在正方形的边AB上运动时， ①若点P和点P关于正方形ABCD的“友好点”点P′，恰好都在正方形的边AB上，则点P'的坐标为 　 　；点M关于正方形ABCD的“友好点”点M′的坐标为 　 　； ②若记点P关于正方形ABCD的“友好点”为P′（m，n），直接写出n与m的关系式（不要求写m的取值范围）； （2）如图2，E（﹣1，﹣1），F（2，2）．当点P在正方形ABCD的四条边上运动时，若线段EF上有且只有一个点P关于正方形ABCD的“友好点”，求a的取值范围； （3）当2≤a≤4时，直接写出所有正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积． 【大兴】 4．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2） 我们将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为点M与点N的“直角距离”，记作dMN． 例如：点M（﹣2，4）与点N（5，3）的“直角距离”dMN＝|﹣2﹣5|+|4﹣3|＝8． （1）已知点P1（1，3），P2（﹣2，﹣3），P3（﹣，），在这三个点中，与原点O的“直角距离”等于4的点是 　 　； （2）若直线y＝x+b上恰好有两个点与原点O的“直角距离”等于4，直接写出b的取值范围； （3）已知点A（m，2），B（m+5，2），若线段AB上有且只有一点C，使得dCO＝4，直接写出m的取值范围． 【丰台】 5．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和菱形ABCD，给出如下定义：若菱形ABCD上存在一点T，使点P绕点T逆时针旋转120°的对应点P′在菱形ABCD的较短的一条对角线上，则称点P为菱形ABCD的环绕点．图1为菱形ABCD的环绕点P的示意图． 如图，设菱形ABCD的中心为O，∠ABC＝120°，点A和点C都在x轴上，且AC＝6． （1）在点P1（﹣1，2），P2（3，﹣2），P3（﹣4，﹣3）中，菱形ABCD的环绕点是 　 　； （2）若P（t，﹣t）为菱形ABCD的环绕点，求t的取值范围； （3）设正方形EFGH以点O为中心，各边均与坐标轴平行，边长为2k．若正方形EFGH上任意一点Q都是菱形ABCD的环绕点，请你直接写出k的取值范围． 【燕山】 6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段AB上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点． （1）已知直线l1：y＝﹣x，在点P1（﹣2，1），P2（﹣2，﹣1），P3（2，0）中