专题06 数列-【好题汇编】2024年高考数学一模试题分类汇编（新高考新题型专用）

专题06 数列 等差数列 1．（2024·辽宁沈阳·统考一模）已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（    ） A．8 B．9 C．10 D．100 2．（2024·广东深圳·校考一模）已知为等差数列的前n项和，，则（    ） A．60 B．120 C．180 D．240 3．（2024·吉林延边·统考一模）已知是公差不为0的等差数列，是其前n项和，若，则下列关系中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）数列中，，，则（   ） A．210 B．190 C．170 D．150 5．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（   ）个. A．499 B．500 C．501 D．502 6．（2024·山西晋城·统考一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（    ） A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日 C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日 7．（2024·浙江·校联考一模）一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：．，点到的长度为1，点到的长度为2，点到的长度为3，点到的长度为4，……，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是（    ） A．4752 B．4753 C．4850 D．4851 8．（2024·河北·校联考一模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）      A． B． C． D． 9．（2024·重庆·统考一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 等比数列 10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知数列为等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 11．（2024·云南曲靖·统考一模）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A．36 B．54 C．28 D．42 12．（2024·吉林延边·统考一模）谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（    ）    A． B． C． D． 13．（2024·辽宁沈阳·统考一模）已知等比数列的各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：. 14．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）设等比数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和． 15．（2024·福建厦门·统考一模）已知数列的前项和为，，当，且时，． (1)证明：为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值． 16．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为. (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若构成等比数列，求正整数； (3)记，求证：. 数列综合 17．（2024·福建厦门·统考一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如