先生解惑 知识清单-【追梦之旅·大先生】2023-2024学年八年级下册数学同步训练方案（北师大版 河南专版）

第一章　 三角形的证明 1　 等腰三角形 全等三角形的判定与性质 判定 定理 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等( SAS) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等( ASA) 两角分别相等且其中 一组等角的对边 相等的两个三角形 全等( AAS) 三边分别相等的两个三角形全等( SSS) 性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 等腰三角形的性质定理及其推论 1.等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两底角相等(简述为 “等边对等角” ) . 2.等腰三角形性质定理的推论:等腰三角形顶角的平分线、底边 上的中线及底边上的高线互相重合(简述为“三线合一” ) . 3. 两腰上的高相等,两腰上的中线相等,两底角的平分线相等. 等边三角形的性质 1.等边三角形:三边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角 形是特殊的等腰三角形. 2.等边三角形的性质定理:等边三角形的三个内角 都相等,并且每个角都等于60° . 等腰三角形的判定定理 内容 符号语言 图示 有两个角相等的三角形是等腰三 角形. (简述为:等角对等边) 在△ABC 中,∠B = ∠C,则 AB=AC 反证法 反证法:在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、 基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证 明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 等边三角形的判定定理 内容 符号语言 图示 定 理 1 三个角 都 相等 的 三 角 形 是 等 边三角形 在△ABC 中,∠A = ∠B = ∠C,则 △ABC 是等边三角形 定 理 2 有 一个角 等于 60° 的 等腰 三 角形是等边三 角形 在△ABC 中,AB = AC,∠A = 60° (或 ∠B = 60°或 ∠C = 60°),则 △ABC 是等边三角形 —1— 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 !" (1)有两边和一角分别相等 的两个三角形不一定全等. (2)三个角对应相等的两个 三角形不一定全等. !" 应用“三线合一”性质的前提 (1)在等腰三角形中; (2)必须是底边上的中线或 底边上的高线或顶角的平分 线. !"#$ 等腰三角形底边上的任意一 点 到两腰的距离之和等于一 腰上的高 . !"#$ 等边三角形具有等腰三角形 的所有性质, 且 每个内角的 平分线都与该角对边上的高 线、中线重合. !"#$ 等腰三角形的定义也可以作 为判定等腰三角形的一种方 法. !" 用反证法证明时,否定的是 命题的结论,而不是条件. 如 果结论的反面不止一种情 况,那么必须把各种可能的 情况一一加以否定,才能肯 定原结论是正确的. !"#$ 等边三角形的证明方法 (1)先证明三角形是等腰三 角形,再证明其中一个内角 为 60°; (2)直接证明三角形的三个 角或三条边都相等. 含 30°角的直角三角形的性质定理 内容 符号语言 图示 在 直角 三 角 形 中, 如 果 一 个 锐角等于 30° ,那 么 它 所 对 的 直角边等于斜边的一半 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A = 30°,则 BC = 1 2 AB 等腰三角形中的分类讨论 例 1. 一个等腰三角形的两条边分别是 3. 5 cm 和 8 cm,则第三条 边的边长是(　 　 )cm. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3. 5 B. 8 C. 3. 5 或 8 D. 不能确定 【解析】当等腰三角形的腰长为 3. 5 cm,底边长为 8 cm 时, ∵ 3. 5+3. 5=7<8,∴ 不能组成三角形;当等腰三角形的腰长 为 8 cm,底边长为 3. 5 cm 时,8+3. 3= 11. 5>8,8-3. 5 = 4. 5< 8,∴ 等腰三角形的三边长分别为 8 cm,8 cm,3. 5 cm,综上所 述:等腰三角形的第三条边的边长是 8 cm. 答案:B 等腰(边)三角形的性质及判定的综合应用 例 2. 如图,在等边△ABC 中,AC = 12 cm,点 M 以 2 cm / s 的速度 从点 B 出