7.3 复数的三角表示(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案[１９] 第七章　 复数 ７. ３∗　 [７. ３. １　 复数的三角表示式 ７. ３. ２　 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义] Ａ 组􀅰素养自测 一、选择题 １. 设复数 ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ ＝ ｒ(ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ)ꎬ其中 ａꎬｂ ∈Ｒꎬ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｒꎬａｒｇ ｚ ＝ θꎬ下列说法正确的 是 ( Ｄ ) Ａ. ｒ > ０ꎬθ∈[０ꎬ２π) Ｂ. ｒ≥０ꎬθ∈(０ꎬ２π) Ｃ. ｒ∈Ｒꎬθ∈( － πꎬπ) Ｄ. ｒ≥０ꎬθ∈[０ꎬ２π) ２. 复数 － ２ ｃｏｓ π５ ＋ ｉｓｉｎ π ５ æ è ç ö ø ÷辐角的主值是 ( Ｃ ) Ａ. π５ Ｂ. ４π ５ Ｃ. ６π ５ Ｄ. ９π ５ ３. 将代数形式的复数 ｚ ＝ ２ｉ 改写成三角形式为 ( Ｄ ) Ａ. ２ ＋ ｃｏｓ π２ ＋ ｉｓｉｎ π ２ Ｂ. ２ ｃｏｓ π ２ － ｉｓｉｎ π ２ æ è ç ö ø ÷ Ｃ. ２ ｓｉｎ π２ ＋ ｉｃｏｓ π ２ æ è ç ö ø ÷ Ｄ. ２ ｃｏｓ π２ ＋ ｉｓｉｎ π ２ æ è ç ö ø ÷ ４. 复数 － ２ ３ － ２ｉ 的辐角主值为 ( Ｃ ) Ａ. π６ Ｂ. ５π ６ Ｃ. ７π６ Ｄ. １１π ６ ５. 复数(ｓｉｎ １０° ＋ ｉｃｏｓ １０°) ( ｓｉｎ １０° ＋ ｉｃｏｓ １０°) 的三角形式是 ( Ｂ ) Ａ. ｓｉｎ ２０° ＋ ｉｃｏｓ ２０° Ｂ. ｃｏｓ １６０° ＋ ｉｓｉｎ １６０° Ｃ. ｃｏｓ ２０° ＋ ｉｓｉｎ ２０° Ｄ. ｓｉｎ １６０° ＋ ｉｃｏｓ １６０° 二、填空题 ６. 设 ｚ ＝ ３ － ｉꎬ对应的向量为ＯＺ→ꎬ将ＯＺ→绕点 Ｏ 按逆时针方向旋转 ３０°ꎬ则所得向量对应的复 数为　 　 　 　 　 . ７. ２(ｃｏｓ １５° ＋ ｉｓｉｎ １５°) × ５ ３ ２ ＋ １ ２ ｉ æ è ç ö ø ÷ ＝ 　 　 　 　 　 (用代数形式表示) . ８. 计 算 ( ｃｏｓ ４０° ＋ ｉｓｉｎ ４０°) ÷ ( ｃｏｓ １０° ＋ ｉｓｉｎ １０°) ＝ 　 　 　 　 　 . 三、解答题 ９. 复数的代数形式与三角形式互化. (１) － １ － ３ｉꎻ (２)２ ｃｏｓ ５６ π ＋ ｉｓｉｎ ５ ６ π æ è ç ö ø ÷ . １０. 设复数 ｚ ＝ (１ － ３ ｉ) ５ꎬ求 ｚ 的模和辐角的 主值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —９１２— Ｂ 组􀅰素养提升 一、选择题 １. 在复平面中ꎬ把复数 ｚ ＝ ２ ＋ ２ｉ 对应的向量按 逆时针方向旋转 ４５°ꎬ所得向量对应的复数为 ( Ｄ ) Ａ. ２ ＋ ２２ ＋ ２ ＋ ２ ２ ｉ Ｂ. ２ － ２ ２ ＋ ２ ＋ ２ ２ ｉ Ｃ. １ ＋ ２ ＋ (１ ＋ ２)ｉ Ｄ. １ － ２ ＋ (１ ＋ ２)ｉ ２. (多选题)在复平面内ꎬ已知正三角形 ＡＢＣ 的 顶点 ＡꎬＢ 对应的复数为 ２ ＋ ｉꎬ３ ＋ ２ｉꎬ则顶点 Ｃ 对应的复数可能是 ( Ｃ ) Ａ. １ － ３２ ＋ １ ＋ ３ ２ ｉ Ｂ. １ ＋ ３ ２ ＋ １ － ３ ２ ｉ Ｃ. ５ － ３２ ＋ ３ ＋ ３ ２ ｉ Ｄ. ５ ＋ ３ ２ ＋ ３ － ３ ２ ｉ ３. 向量ＯＺ１ →ꎬＯＺ２ → 分别对应非零复数 ｚ１ꎬ ｚ２ꎬ若 ＯＺ１ →⊥ＯＺ２ →ꎬ则 ｚ１ ｚ２ 是 ( Ｂ ) Ａ. 负实数 Ｂ. 纯虚数 Ｃ. 正实数 Ｄ. 虚数 ａ ＋ ｂｉ(ａꎬｂ∈Ｒꎬａ≠０) 二、填空题 ４. 复数 ｚ ＝ (ａ ＋ ｉ)２ 的辐角主值为３π２ ꎬ则实数 ａ ＝ 　 　 　 　 . ５. ４ ｃｏｓ π４ ＋ ｉｓｉｎ π ４ ＝ 　 　 　 　 　 . 三、解答题 ６. 回答下面两题 (１)求证: １ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ ＝ ｃｏｓ θ － ｉｓｉｎ θꎻ (２)写出下列复数 ｚ 的倒数 １ｚ 的模与辐角. ①ｚ ＝ ４ ｃｏｓ π１２ ＋ ｉｓｉｎ π １２ æ è ç ö ø ÷ꎻ②ｚ ＝ ｃｏｓ π６ － ｉｓｉｎ π ６ ꎻ ③ｚ ＝ ２２ (１ － ｉ) . Ｃ 组􀅰探索创新 　 在复平面内ꎬ把与复