7.2.2 复数的乘、除运算(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案[１８] 第七章　 复数 ７. ２　 [７. ２. ２　 复数的乘、除运算] Ａ 组􀅰素养自测 一、选择题 １. 若复数 ｚ 满足 ｉ􀅰ｚ ＝ ３ － ４ｉꎬ则 ｜ ｚ ｜ ＝ ( Ｂ ) Ａ. １ Ｂ. ５ Ｃ. ７ Ｄ. ２５ ２. (２０２３􀅰福建省三明市高三模拟)已知 ｉ 是虚 数单位ꎬ若复数 ｚ ＝ ５４ ＋ ３ｉꎬ则 ｚ 的共轭复数ｚ ＝ ( Ａ ) Ａ. ４５ ＋ ３ ５ ｉ Ｂ. ４ ５ － ３ ５ ｉ Ｃ. － ４５ ＋ ３ ５ ｉ Ｄ. － ４ ５ － ３ ５ ｉ ３. (２０２１􀅰全国甲卷)已知(１ － ｉ) ２ ｚ ＝ ３ ＋ ２ｉꎬ则 ｚ ＝ ( Ｂ ) Ａ. － １ － ３２ ｉ Ｂ. － １ ＋ ３ ２ ｉ Ｃ. － ３２ ＋ ｉ Ｄ. － ３ ２ － ｉ ４. (２０２２􀅰全国甲卷)若 ｚ ＝ － １ ＋ ３ｉꎬ则 ｚｚ ｚ － １ ＝ ( Ｃ ) Ａ. － １ ＋ ３ｉ Ｂ. － １ － ３ｉ Ｃ. － １３ ＋ ３ ３ ｉ Ｄ. － １ ３ － ３ ３ ｉ ５. 在如图所示的复平面内ꎬ复数 ｚ１ꎬｚ２ꎬｚ３ 对应的 向量分别是ＯＡ→ꎬＯＢ→ꎬＯＣ→ꎬ则复数 ｚ３ ２ｚ１ ＋ ３ｚ２ 在复 平面内对应的点位于 ( Ｃ ) Ａ. 第一象限 Ｂ. 第二象限 Ｃ. 第三象限 Ｄ. 第四象限 二、填空题 ６. ｉ 是虚数单位ꎬ则复数１ － ｉ２ ＋ ｉ的虚部为 　 　 　 　 　 . ７. 设复数 ｚ１、ｚ２ 在复平面内的对应点分别为 Ａ、Ｂꎬ 点 Ａ与 Ｂ 关于 ｘ 轴对称ꎬ若 ｚ１(１ － ｉ) ＝ ３ － ｉꎬ则 ｜ ｚ２ ｜ ＝ 　 　 　 　 . ８. 已知 １ ＋ ２ｉ 是方程 ｘ２ － ｍｘ ＋ ２ｎ ＝ ０(ｍꎬｎ∈Ｒ) 的一个根ꎬ则 ｍ ＋ ｎ ＝ 　 　 　 　 　 . 三、解答题 ９. 计算: (１)( － １ ＋ ｉ)(２ ＋ ｉ) ｉ３ ꎻ (２)(１ ＋ ２ｉ) ２ ＋ ３(１ － ｉ) ２ ＋ ｉ ꎻ (３) １ ＋ ｉ１ － ｉ æ è ç ö ø ÷ ６ ＋ ２ ＋ ３ｉ ３ － ２ｉ . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —７１２— １０. 设存在复数 ｚ 同时满足下列条件: (１)复数 ｚ 在复平面内对应点位于第二象 限ꎻ(２) ｚ􀅰ｚ ＋ ２ｉｚ ＝ ８ ＋ ａｉ(ａ∈Ｒ) . 试求 ａ 的取值范围. Ｂ 组􀅰素养提升 一、选择题 １. 如图所示ꎬ在复平面内ꎬ复数 ｚ１ꎬｚ２ 对应的向量 分别是ＯＡ→ꎬＯＢ→ꎬ则复数 ｚ１ ｚ２ 对应的点位于( Ｂ ) Ａ. 第一象限 Ｂ. 第二象限 Ｃ. 第三象限 Ｄ. 第四象限 ２. １５４５ 年ꎬ意大利数学家卡尔丹在其所著«重要 的艺术»一书中提出“将实数 １０ 分成两部分ꎬ 使其积为 ４０”的问题ꎬ即“求方程 ｘ(１０ － ｘ) ＝ ４０ 的根”ꎬ卡尔丹求得该方程的根分别为 ５ ＋ － １５和 ５ － － １５ꎬ数系扩充后这两个根分别 记为５ ＋ １５ｉ 和 ５ － １５ｉ.若 ｚ(５ ＋ １５ｉ) ＝５ － １５ｉꎬ则复数 ｚ ＝ ( Ｃ ) Ａ. １ － １５ｉ Ｂ. １ ＋ １５ｉ Ｃ. １ － １５ｉ４ Ｄ. １ ＋ １５ｉ ４ ３. (多选题)设 ｚ１、ｚ２、ｚ３ 是复数ꎬ则下列说法中正 确的是 ( Ａ ) Ａ. 若 ｚ１ ｚ２ ＝ ０ꎬ则 ｚ１ ＝ ０ 或 ｚ２ ＝ ０ Ｂ. 若 ｚ１ ｚ２ ＝ ｚ１ ｚ３ 且 ｚ１≠０ꎬ则 ｚ２ ＝ ｚ３ Ｃ. 若 ｜ ｚ１ ｜ ＝ ｜ ｚ２ ｜ ꎬ则 ｚ１􀅰ｚ１ ＝ ｚ２􀅰ｚ２ Ｄ. 若 ｜ ｚ１ ｜ ＝ ｜ ｚ２ ｜ ꎬ则 ｚ２１≠ｚ２２ 二、填空题 ４. 已知 ｚ ＝ １ － ｉ１ ＋ ｉ(ｉ 是虚数单位)是方程 ｘ ２ － ａｘ ＋ １ ＝ ０ (ａ∈Ｒ) 的一个根ꎬ则 ｜ ｚ － ａ ｜ ＝ 　 　 　 　 . ５. 已知复数 ｚ 满足:ｚ􀅰ｚ ＋ ２ｉｚ ＝ ８ ＋ ６ｉꎬ则复数 ｚ 的实部与虚部的和为　 　 　 　 . 三、解答题 ６. 已知复数 ｚ 满足 ｜ ｚ ｜ ＝ ２ １０ꎬ且复数(３ － ｉ) ｚ 为 纯虚数. (１)求 ｚꎻ (２)若 ｚ 的实部小于零ꎬ且 ｚ 是关于 ｘ