8.3.2 圆柱、 圆锥、圆台、球的表面积和体积(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

C. 64 D. 323 5. 一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边 长分别为 8 cm 和 18 cm,侧棱长为 13 cm,则 这个正四棱台的侧面积为 　 　 　 　 　 cm2,表 面积为　 　 　 　 　 cm2 . 请同学们认真完成练案[23] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8. 3. 2　 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 素养目标·定方向 课标要求 1. 知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式. 2. 能用公式解决简单的实际问题. 素养要求 在计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的过程中,要把实际问题转化为数学问题,并进行 计算,发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养. 必备知识·探新知 知识点 1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 几何体 图形 表面积公式 圆 柱 底面积:S底 = 　 2πr 2 侧面积:S侧 = 　 2πrl 表面积:S = 　 2πr(r + l) 圆 锥 底面积:S底 = 　 πr 2 侧面积:S侧 = 　 πrl 表面积:S = 　 πr( r + l) 圆 台 上底面面积:S上底 = 　 πr′ 2 下底面面积:S下底 = 　 πr 2 侧面积:S侧 = 　 π( r′ l + rl) 表面积:S = 　 π( r′2 + r2 + r′l + rl) 　 　 [拓展] 　 对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积 的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积 时,可直接使用公式. 但圆台的表面积公式比较 复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应 根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的 半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立 体几何问题的解题思路,那就是主要通过空间 观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面 几何问题. (4) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的 关系 S圆柱侧 = 2πrl r′ = r ← S圆台侧 = π( r + r′) l r′ = 0 → S圆锥侧 = πrl. 练一练: 1. 圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4,母 线长为 6,则其表面积等于 ( C ) A. 72 B. 42π C. 67π D. 72π 2. 一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2π,该圆 柱的表面积为　 　 　 　 　 . 知识点 2 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱 = Sh = 　 πr 2h 圆柱底面圆的半径为 r,面积为 S,高为 h 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 089 圆锥 V圆锥 = 1 3 Sh = 　 　 　 　 圆锥底面圆的半径 为 r, 面 积 为 S, 高 为 h 圆台 V圆台 = 1 3 ( S + SS′ + S′)h = 　 　 　 　 　 　 圆台上底面圆的半 径为 r′,面积为 S′, 下底面圆的半径为 r,面积为 S,高为 h 　 　 [拓展] 　 对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的 几点认识 (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同. (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的 关系可以通过实验得出,等底、等高的圆柱的体 积是圆锥的体积的 3 倍. (3) 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的 关系 V = Sh S′ = S ← V = 13 (S′ + S′S + S)h S′ = 0 →V = 13 Sh. (4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积. 根 据台体的定义进行“补形”,还原为圆锥,采用 “大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积. 练一练: 若圆锥的底面半径为 3,高为 1,则圆锥的 体积为 ( C ) A. π3 B. π 2 C. π D. 2π 知识点 3 球的表面积和体积公式 　 　 1. 球的表面积公式 S = 　 4πR2 (R 为球的 半径) . 2. 球的体积公式 V = 　 　 　 　 　 　 . 　 　 [拓展] 　 与球的体积、表面积有关的问题 (1)球的表面积(体积)与半径之间的函数 关系 S球 = 4πR2 　 V球 = 4 3 πR 3 从公式看,球的表面积和体积的大小,只与 球的半径相关,给定 R 都有唯一确定的 S 和 V 与之对应,故表面积和体积是关于 R 的函数. (2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的 距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问 题的主要途径. 知识点 4 球的截面问题 　 　 (1)用一个　 平面