6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

6. 3. 5　 平面向量数量积的坐标表示 素养目标·定方向 课标要求 1. 掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算. 2. 能运用坐标表示两个向量的夹角和模,会利用坐标运算判断向量垂直. 素养要求 通过推导数量积的坐标运算及求夹角和模及向量垂直的判断中体会逻辑推理素养及数学运 算素养. 必备知识·探新知 知识点 1 平面向量的数量积与向量垂直的 坐标表示 　 　 设非零向量 a = (x1,y1),b = (x2,y2) . 数量积 两个向量的数量积等于 　 它们对应坐标的 乘积的和,即 a·b = 　 x1x2 + y1y2 两个向量垂直 a⊥b⇔　 x1x2 + y1y2 = 0 想一想: 公式 a·b = | a | | b | cos〈a,b〉与 a·b = x1x2 + y1y2 有什么区别与联系? 　 　 [提醒] 　 对比记忆平行与垂直的条件 已知非零向量 a = (x1,y1),b = (x2,y2),则 a∥b 与a⊥b的坐标表示如下: a∥b⇔x1y2 = x2y1,即 x1y2 - x2y1 = 0; a⊥b⇔x1x2 = - y1y2,即 x1x2 + y1y2 = 0. 两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简 记为:纵横交错积相等,横横纵纵积相反. 练一练: 1. 已知向量 a = ( x - 5,3),b = (2,x),且 a⊥b,则由 x 的值构成的集合是 ( C ) A. {2,3} B. { - 1,6} C. {2} D. {6} 2. 设 a = (1, - 2),b = (3,1),c = ( - 1,1), 则(a + b)·(a - c)等于 ( A ) A. 11 B. 5 C. - 14 D. 10 知识点 2 平面向量的模与夹角的坐标表示 　 　 设向量 a = (x1,y1),b = (x2,y2),a 与 b 的 夹角为 θ,则有下表: 坐标表示 模 | a | 2 = 　 x21 + y21 或 | a | = 　 　 　 　 　 　 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB → | = 　 　 　 　 　 夹角 cos θ = a·b| a | | b | = 　 　 　 　 　 　 　 (a,b 为非零向量) 　 　 [拓展] 　 向量的模即向量的长度,其大小 应为平面直角坐标系中两点间的距离,如 a = (x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点 A(x,y),使得OA→ = a = ( x,y),∴ | OA→ | = | a | = x2 + y2,即 | a | 为点 A 到原点的距离. 同样,若 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 032 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB → = ( x2 - x1,y2 - y1), ∴ | AB→ | = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2,即平面直角 坐标系中任意两点间的距离. 由此可知,向量的 模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点 间的距离的运算. 想一想: 若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ > 0,则 两向量的夹角 θ 一定是锐角,对吗? 练一练: 在平面直角坐标系中, O 为原点,已知 A(16,12),B ( - 5,15),则 | OA→ | = 　 　 　 　 , |AB→ | = 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力·攻重难 题 型 探 究 题型一 数量积的坐标运算 　 　 典例 1 (1) (2023·辽宁朝阳期中)已 知 a = ( - 2,1),b = (3,2),则 a·(a + b) = ( A ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (2)(2023·北京高一检测)已知 A(1,2), B(2,3),C( - 2,5),则AB→·AC→ = 　 　 　 　 　 0. (3)如图,在矩形 ABCD 中,AB = 2,BC = 2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若AB→· AF→ = 2,则AE→·BF→的值是　 　 　 　 　 . 　 　 [归纳提升] 　 平面向量数量积坐标运算的 两条途径 进行向量的数量积运算,前提是牢记有关 的运算法则和运算性质. 解题时通常有两条 途径: 一是先将