6.2.4 向量的数量积(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测·固双基 1. 若 3x - 2(x - a) = 0,则向量 x 等于 ( B ) A. 2a B. - 2a C. 25a D. - 25a 2. 下列结论正确的是 ( B ) A. 若向量 b 与 a 共线,则存在唯一的实数 λ 使 b = λa B. 若 b = λa,则 a 与 b 共线 C. 若 λa = 0,则 a = 0 D. |λa | = λ | a | 3. 设 e 是与向量AB→共线的单位向量,AB→ = 3e,又 向量BC→ = - 5e,若AB→ = λ AC→,则 λ = ( C ) A. 23 B. 3 2 C. - 32 D. - 2 3 4. 设 e1,e2 是两个不共线的向量,若向量 m = - e1 + ke2(k∈R)与向量 n = e2 - 2e1 共线,则 ( D ) A. k = 0 B. k = 1 C. k = 2 D. k = 12 5. 如图所示,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向 量CD→ = ( B ) A. BC→ - 12 BA → B. - BC→ + 12 BA → C. - BC→ - 12 BA → D. BC→ + 12 BA → 请同学们认真完成练案[4] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6. 2. 4　 向量的数量积 第 1 课时　 向量的数量积(一) 素养目标·定方向 课标要求 1. 通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其几何意义. 2. 会求平面向量的数量积. 素养要求 通过理解平面向量数量积的物理背景,学习向量的夹角及数量积的概念. 通过学习进一步体 验数学抽象及数学运算素养. 必备知识·探新知 知识点 向量的数量积 　 　 1.向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量 a,b,O 是平 面上任意一点,作OA→ = a,OB→ = b,则∠AOB = θ (　 　 　 　 ≤θ≤　 　 　 　 )叫做向量 a 与 b 的 夹角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 016 (2)性质:当 θ = 　 　 　 　 时,a 与 b 同向; 当 θ = 　 　 　 　 时,a 与 b 反向. (3)向量垂直:如果 a 与 b 的夹角是　 　 　 　 　 　 ,我们说 a 与 b 垂直,记作　 　 　 　 . 想一想: 零向量与任一非零向量有没有夹角? 　 　 2.向量的数量积 条件 非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ 结论 数量　 　 　 　 　 叫做向量 a 与 b 的数量积(或 内积) 记法 向量 a 与 b 的数量积记作 a·b,即 a·b = 　 　 　 　 　 规定 零向量与任一向量的数量积为　 　 　 　 　 　 [提醒] 　 本质:数量积是两个向量之间的 一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两 个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的 余弦值的符号决定. 想一想: 实数与向量的积与数量积有何区别? 　 　 3.向量 a 在 b 上的投影向量 (1)设 a,b 是两个非零向量,AB→ = a,CD→ = b,我们考虑如下的变换:过AB→的起点 A 和终点 B,分别作CD→所在直线的垂线,垂足分别为 A1, B1,得到A1B1 →,我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影,A1B1 → 叫做　 　 　 　 　 　 的投影向量. (2)在平面内任取一点 O,作OM→ = a,ON→ = b,过点 M 作直线 ON 的垂线,垂足为 M1,则OM1 → 就是向量 a 在向量 b 上的投影向量,且OM1 → = 　 　 　 　 　 . 练一练: 1. 若 | a | = 3, | b | = 4,a,b 的夹角为 45°,则 a·b = ( C ) A. - 3 2 B. - 6 2 C. 6 2 D. 2 2. 已知 | a | = 4, | b | = 3,且 a·b = - 6,则向 量 a 与 b 的夹角为 ( B ) A. 60° B. 120° C. 135° D. 150° 3. 已知 | a | = 1, | b | = 2,a 与 b 的夹角为π3 , 则 b 在 a 方向上的投影向量为　 　 　 　 . 　 　 4.平面向量数量积的性质 (1)若两非零向量的夹角为 θ, 当 0≤θ < π2 时,非零向量的数量积为正数; 当 θ = π2 时,非零向量的数量积为零; 当π2 < θ≤π 时,非零向量的数量积为负数. (2)若 a,b 是非零向量,它们的夹角是 θ,则 ①a⊥b⇔