6.4.1平面几何中的向量方法课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.1 平面几何中的向量方法 高一数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 1.例1已知:DE是△ABC的中位线，用向量的方法 证明: 证明：因为M，N是AB，AC边上的中点， 巩固新知 ∥ A B D C E 图6.4-1 A B D C E 图6.4-2 2.你能总结一下利用向量法解决平面几何 问题的基本思路吗？ （1）建立平面几何与向量的联系，用向量 表示 问题中涉及的几何元素，将平面 几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的 关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 用基底表示 向量运算 翻译几何结果 如图，已知平行四边形ABCD，你能发现平行四边形对角线 AC和BD的长度与两条邻边AB和AD长度之间的关系吗？ 解:第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的 几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系 A B C D 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 3例2. 基底法或坐标法 4变式: 正方形 OABC 的边长为1，点 D、E分别为AB、 BC 的中点，试求cos∠DOE 的值. y x 4变式: O C B E D A A M N B C P 5能力提升: 如图, ABCD中,点E、F分别是AD 、 DC边的中点,BE , BF分别与AC交于R , T两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 猜想：AR=RT=TC 5能力提升: A B C D E F R T 故AT=RT=TC (1)问题的转化,即把实际问题转化为几何问题. (2)模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题. (3)问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的实际现象. 1.向量在几何中的应用（三部曲）： 2.向量在几何中的应用： 回顾旧知 3.向量数量积： 用基底表示 向量运算 翻译几何结果 探究1：两人一起提一个重物时, 怎样提它最省力? 探究2:一个人静止地垂挂在单杠上时,手臂的拉力与手臂握杠的的姿势有什么关系? 夹角越小越省力 两臂的夹角越小,手臂就越省力 二、探究新知 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？ 1.例3 巩固新知 （1）θ为何值时， 最小，最小值是多少？ 在上式中，当θ =0º时， 最大， 最小且等于 （2） 能等于 吗？为什么？ 在上式中，当 即θ=120º时， 2.探究: (3)生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.绳子的最大拉力为 ,物体重量为 ,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角θ的关系？ 2.探究: (4)如果绳子的最大承受力为 θ在什么范围内,绳子才不会断？ 2.探究: 如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N,则每根绳子的拉力是________. 120º 10N 3.变式: PowerPoint Slide Show Converter 如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸,已知船的速度 水流速度 问行驶航程最短时,所用时间是多少？(精确到0.1min) 4.例4 A 小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短. 4.变式: 四、课堂检测 三角形的“四心” 平面几何中的向量方法 复习回顾平面向量相关的几何性质 合作交流，完成下表 几何元素及其表示 向量及其运算 平行 垂直 长度 夹角 例1 如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： 平面几何中的向量方法 思考①：如果两个向量共线，那么向量所在直线的位置关系是怎样的？向量共线与线段平行、重合的关系是什么？ 向量共线