专题2.1 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.1 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【知识点二】一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【知识点三】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 【知识点四】列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 【考点目录】 【考点1】一元二次方程的有关概念； 【考点2】一元二次方程的解法； 【考点3】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系； 【考点4】一元二次方程根的应用. 【考点一】一元二次方程的有关概念； 【例1】（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，一元二次方程的解的概念，根据分式的性质，乘法公式，将代数式化简，再根据一元二次方程的解可得，即可求解，掌握分式的性质，一元二次方程的解的运用是解题的关键． 解： ， ∵是方程的解， ∴ ∴原式． 【变式1】（河南省平顶山市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 【变式2】（2024上·四川广安·九年级统考期末）已知a是方程一个根，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 解：∵a是方程一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点二】一元二次方程的解法 【例2】（2024上·四川广安·九年级统考期末）按要求解方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程即可；（2）运用因式分解法解一元二次方程即可． （1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】（2024上·山东日照·九年级统考期末）三角形两边长分别2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．8或12 B．8或9 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长．根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长． 解：由， 解得：或， 当第三边长为2时， 由三角形三边关系可知：， 故不能组成三角形， 当第三边为3时， 由三角形三边关系可知：，能够组成三角形， 这个三角形的周长为：， 故选：C 【变式2】（2022上·陕西咸阳·九年级统考期中）将方程用配方法化为，则 ． 【答案】22 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程