思维拓展07 三角形的中线、角平分线、垂线相关的问题（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 思维拓展07 三角形的中线、角平分线、垂线相关的问题（精讲+精练） 一、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ 题型一：中线 【例1】在中，内角，，的对边分别是，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为线段的中点，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，即可求出角. （2）利用中线的向量公式和余弦定理得出，的等量关系，解方程组得的值，即可求出的面积. 【详解】（1）由题意， 在中， 由正弦定理得，， ∵， ∴代入上式可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）由题意及（1）得， 在中，为线段的中点，，，    ，， 即， 整理得，. 由余弦定理得，，即， 联立，解得：， ∴ 一、解答题 1．（2024下·全国·高一专题练习）已知的三个角，，的对边分别是，，，而且满足. (1)求角的值； (2)若，，边AB上的中点为D，求CD的长度. 2．（2024下·全国·高一专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求的面积. 3．（2023下·广东佛山·高一校考期中）已知中，内角的对边分别为，的面积边的中线长为． (1)求； (2)若的面积，求． 4．（2024·全国·高一假期作业）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，边上的中线，且，求． 5．（2024下·上海·高一专题练习）已知ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c，，. (1)若，求ABC的面积； (2)设线段AB的中点为D，若，求ABC外接圆半径R的值. 6．（2024下·全国·高一专题练习）在中，角的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若外接圆的半径为，点D为边的中点，证明：． 7．（2023下·浙江嘉兴·高一校联考期中）在中，有，其中、、分别为角、、的对边. (1)求角的大小； (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 8．（2024下·全国·高一专题练习）已知的内角的对边分别为，满足， (1)求； (2)是线段边上的点，若，求的面积. 9．（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）中，已知，点在边上，. (1)证明：； (2)若，求的余弦值. 题型二：角平分线 【例1】在△ABC中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若，为边上一点，为角的平分线，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得. （2）根据三角形的面积公式、余弦定理，先求得，进而求得三角形的面积. 【详解】（1）依题意，， 由正弦定理得， 由于是三角形的内角，所以， 所以，则， 由于，所以， 所以， 所以，所以. （2）由余弦定理得， 由三角形的面积公式得， 整理得， 所以， ， 解得，所以三角形的面积为. 一、解答题 1．（2024·全国·高一假期作业）在中，分别为内角的对边，且． (1)求角A的大小； (2)设角A的内角平分线交于点，若的面积为，求的值． 2．（2024下·全国·高一专题练习）已知的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小， (2)若的角平分线交边于点，且，求边. 3．（2024上·四川资阳·高一四川省安岳中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 4．（2024下·全国·高一专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，已知，.    (1)求角； (2)如图所示，平分，且，，求△BCD的面积. 5．（2024下·全国·高一专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围． 6．（2024·全国·高一假期作业）已知平面四边形中，对角线平分角与相交于点，且，    (1)求的长； (2)若，求的面积. 7．（2024·全国·高一假期作业）在中，内角所对的边分别是，． (1)求； (2)若，且的平分线上的点满足，求． 8．（2024·全国·高一专题练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值． 题型三：垂线 【例1】在