8.4 三元一次方程组的解法-【良师教案】2023-2024学年七年级下册数学同步教案（人教版）

数 学 第 八 章 　 二 元 一 次 方 程 组 ∗ ８.４　 三元一次方程组的解法 １.会解三元一次方程组. ２.感受“三元”化归到“二元”ꎬ再由“二元”化归到“一元”的数学思想. ３.经历探索三元一次方程组解题的过程ꎬ体会其内涵. ４.培养数学化归思想ꎬ使学生真正体验到数学的应用价值. 重点 掌握三元一次方程组的解法. 难点 三元一次方程组如何化归到二元一次方程组. 多媒体课件. 引导发现法. 一、创设情境ꎬ引入新课 老师出示下列问题: 小明手头有 １２ 张面额分别为 １ 元、２ 元、５ 元的纸币ꎬ共计 ２２ 元ꎬ其中 １ 元纸币的数量是 ２ 元纸币数量的 ４ 倍.求 １ 元、２ 元、５ 元纸币各多少张. 学生在老师的引导下独立思考后合作交流ꎬ思考以下问题: １.选用什么数学工具来解呢? ２.设哪些量为未知数呢? 在小组内说一说自己的解法ꎬ与组内的同学达成共识. 二、讲授新课 教师引导学生在完成上述问题的基础上ꎬ出示下列问题: 刚才这一问题ꎬ如果我们不设两个未知数ꎬ只设一个未知数ꎬ用一元一次方程能否求解呢? 三元一次方程组 　 　 　 ↓ 二元一次方程组 　 　 　 ↓ 一元一次方程 学生能由教师的引导ꎬ认真地分析题意ꎬ找出能概括问题全部含义的三个等量关系并能设 １５７ 　 　 良 师 教 案 七 年 级 下 册 ︵ＲＪ 版 ︶ 出未知数:设 １ 元、２ 元、５ 元的纸币分别为 ｘ 张、ｙ 张、ｚ 张ꎬ由题意得出方程组 ｘ＋ｙ＋ｚ＝ １２ꎬ ｘ＋２ｙ＋５ｚ＝ ２２ꎬ ｘ＝ ４ｙ. ì î í ï ï ï ï 学生在教师的引导下ꎬ认真地观察这三个方程的特点ꎬ为此方程组下一个定义ꎬ然后分组 讨论此方程组的基本解法ꎬ并能在组内交流三元一次方程组的解法与二元一次方程组的解法 的区别ꎬ总结解方程组的基本思想是消元. 教师出示三元一次方程组的概念: 这个方程组含有三个相同的未知数ꎬ每个方程中含未知数的项的次数都是 １ꎬ并且一共有 三个方程ꎬ像这样的方程组叫作三元一次方程组. (提示三元一次方程组与一元一次方程及二元一次方程组的关系) 教师介绍三元一次方程组的解法: 从上面的分析可以看出ꎬ解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消 元ꎬ把“三元”化为“二元”ꎬ使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组ꎬ进而再转化为解一 元一次方程ꎬ这与解二元一次方程组的思路是一样的. 三元一次方程组 消元 → 二元一次方程组 消元 → 一元一次方程 三、例题讲解 教师出示本节课的例题: ３ｘ＋４ｚ＝ ７ꎬ　 　 　 　 ① ２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝ ９ꎬ ② ５ｘ－９ｙ＋７ｚ＝ ８. ③ ì î í ï ï ï ï 学生在教师的引导下ꎬ独立分析、思考尝试使用多种不同的方法来解答此问题ꎬ对于不同 的解法全班进行交流ꎬ并能比较各种解法的优缺点ꎬ选择较为简便的方法完成练习题的解答. 分析:方程①只含 ｘ、ｚꎬ因此ꎬ可以由②、③消去 ｙꎬ得到一个只含 ｘ、ｚ 的方程ꎬ与方程①组成 一个二元一次方程组. 解:②×３＋③ꎬ得 １１ｘ＋１０ｚ＝ ３５ꎬ④ ①与④组成方程组 ３ｘ＋４ｚ＝ ７ꎬ １１ｘ＋１０ｚ＝ ３５.{ 解这个方程组ꎬ得 ｘ＝ ５ꎬ ｚ＝－２.{ 把 ｘ＝ ５ꎬｚ＝－２ 代入②ꎬ得 ２×５＋３ｙ－２＝ ９ꎬ 所以 ｙ＝ １ ３ . 因此ꎬ三元一次方程组的解为 ｘ＝ ５ꎬ ｙ＝ １ ３ ꎬ ｚ＝－２. ì î í ï ï ï ï ïï 　 　 １５８ 数 学 第 八 章 　 二 元 一 次 方 程 组 四、巩固练习 １.已知 ｘ＋ｙ＝ ５ꎬ ｙ＋ｚ＝－２ꎬ ｚ＋ｘ＝ ３ꎬ ì î í ï ï ï ï 则 ｘ＋ｙ＋ｚ＝ . ２.方程组 ｘ＋ｙ＝ ７ꎬ ｘ＋ｙ＋ｚ＝ ５ꎬ ｘ－ｙ－ｚ＝ １ ì î í ï ï ï ï 的解是 . ３.判断 ｘ＝ ４ ５ ꎬ ｙ＝ ８ ５ ꎬ ｚ＝ １ ì î í ï ï ïï ï ï ïï 是不是三元一次方程组 ２ｘ－ｙ＋ｚ＝ １ꎬ ３ｘ＋ｙ－２ｚ＝ ２ꎬ ｘ＋２ｙ－ｚ＝ ３ ì î í ï ï ï ï 的解. 　 １.３　 ２. ｘ＝ ３ꎬ ｙ＝ ４ꎬ ｚ＝－２ꎬ ì î í ï ï ï ï 　 ３.是. 五、课堂小结 教师引导学生完成本节课的小结: １.三元一次方程组的概念. ２.解三元一次方程组的基本思想及方法: 　 　 转化 　 转化 三元 →二元 →一元 　 　 代入 　 代入 　 　 加减 　 加减