17.5 一元二次方程的应用-【良师教案】2023-2024学年八年级下册数学同步教案（沪科版）

数 学 第 １７　 章 　 一 元 二 次 方 程 １７.５　 一元二次方程的应用 第 １ 课时　一元二次方程的应用(１) １.使学生学会列一元二次方程解应用题. ２.通过应用题教学使学生进一步学会使用代数中的方程去反映现实中的相等关系ꎬ体会代 数方法的优越性. ３.根据具体问题的数量关系ꎬ形成方程的模型ꎬ进一步让学生培养利用方程的观点认识现 实世界的意识和能力. ４.经历具体实例的抽象概括过程ꎬ进一步向学生渗透把未知转化为已知的化归辩证思想ꎬ 培养学生分析问题和解决问题的能力ꎬ发展学生的抽象思维能力. ５.通过分组合作的学习活动ꎬ让学生在活动中学会与他人合作ꎬ并能与他人交流思维. ６.通过具体实例的分析、思考与合作学习的过程ꎬ培养学生理论联系实际的辩证唯物主义 思想ꎬ以养成利用已学知识分析、解决实际问题的良好的学习习惯. 重点 正确分析应用题的题意ꎬ列出一元二次方程. 难点 选择合适的方法解一元二次方程ꎬ并根据实际情况对根进行取舍. 多媒体课件. 讲练结合. 一、温故知新 师:同学们ꎬ在生活中我们常常可以看到百分数的概念在实际生活中的应用.下面ꎬ我们就 来研究这样的问题. １.创设问题情境. 问题 １:(１)某商品经两次降价ꎬ零售价降为原来的一半ꎬ已知两次降价的百分率一样.求每 次降价的百分率.(精确到 ０.１％ ) (２)某种股票连续两次下跌ꎬ周一开盘价是 ５ 元ꎬ周二开盘价是 ４.０５ 元ꎬ则平均每次下跌的 百分率是多少? ２.探索解决问题. 分析(１):“两次降价的百分率一样”ꎬ指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的 值ꎬ即两次按同样的百分数减少ꎬ而减少的绝对数是不同的ꎬ设每次降价的百分率为 ｘꎬ若原价 ７９ 　 　 良 师 教 案 八 年 级 下 ︵ 沪 科 版 ︶ 为 ａꎬ则第一次降价后的零售价为 ａ(１－ｘ) .又以这个价格为基础ꎬ再算出第二次降价后的零售 价为 ａ(１－ｘ)􀅰(１－ｘ)ꎬ根据题意可列出方程 ａ(１－ｘ) ２ ＝ １ ２ ａꎬ然后求出降价的百分率. 分析(２):学生小组讨论探究. 二、探索新知 问题 ２:利民大药房将原来每盒盈利 ３０％ 的某种药品先后两次降价ꎬ经过两次降价后每盒 仍能盈利 １０％ ꎬ求这两次降价的平均降价率是多少? (精确到 １％ ) 分析:设某种药品进价是 ａ 元 /盒ꎬ零售价按盈利 ３０％ 定价ꎬ就是 ａ(１＋３０％ )元 /盒ꎬ两次平 均降价率是 ｘ. 则第一次降价后的零售价为[ａ(１＋３０％ )－ａ(１＋３０％ )ｘ]元 /盒. 即 ａ(１＋３０％ )(１－ｘ)元 /盒ꎻ 第二次降价后的零售价为[ａ(１＋３０％ )(１－ｘ)－ａ(１＋３０％ )(１－ｘ)ｘ]元 /盒. 即 ａ(１＋３０％ )(１－ｘ) ２元 /盒. 按盈利 １０％的零售价应该是 ａ(１＋１０％ )元 /盒. 解:设某种药品进价是 ａ 元 /盒ꎬ设两次平均降价率是 ｘ.根据题意ꎬ得 ａ(１＋３０％ )(１－ｘ) ２ ＝ａ(１＋１０％ )ꎬ 整理ꎬ得(１－ｘ) ２ ＝ １１ １３ ꎬ 解方程ꎬ得 ｘ１≈１.９２ꎬｘ２≈０.０８ꎬ 其中 ｘ１≈１.９２ 不合题意ꎬ舍去. ∴ 这两次降价的平均降价率约是 ８％ . 三、例题讲解 【例】　 原来每盒 ２７ 元的一种药品ꎬ经两次降价后每盒售价为 ９ 元ꎬ求该药品两次降价的 平均降价率是多少? (精确到 １％ ) 　 设该种药品两次平均降价率是 ｘ. 根据题意ꎬ得 ２７(１－ｘ) ２ ＝ ９ꎬ 整理ꎬ得(１－ｘ) ２ ＝ １ ３ . 解这个方程ꎬ得 ｘ１≈１.５８ꎬｘ２≈０.４２. ｘ１≈１.５８ 不合题意ꎬ 所以 ｘ≈０.４２. 答:该药品两次降价的平均降价率约是 ４２％ . 四、课堂练习 完成课本第 ４４ 页练习的第 １ꎬ２ꎬ３ 题. 　 练习 １:设其中的一个数为 ｘꎬ则另一个数为 ｘ＋２ꎬ 由题意ꎬ得 ｘ(ｘ＋２)＝ ２８８ꎬ解得 ｘ１ ＝－１８ꎬｘ２ ＝ １６. ∴ 这两个数分别为－１８ꎬ－１６ 或 １６ꎬ１８. 练习 ２:设这根水管原来的内壁直径为 ｘ ｍｍ. 　 　 ８０ 数 学 第 １７　 章 　 一 元 二 次 方 程 由题意ꎬ得 π ｘ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ × ４ ９ ＝π ｘ ２ －３æ è ç ö ø ÷ ２ ꎬ 整理ꎬ得 ｘ１ ＝ １８ꎬｘ２ ＝ ３.６(舍去)ꎬ ∴ 这根水管原来的内壁直径为 １８ ｍｍ. 练习 ３:设 ６ꎬ７ 月份产量的月平均增长率为 ｘꎬ 由题意ꎬ得 ４５０(１＋ｘ) ２ ＝ ６４８ꎬ 解得 ｘ１ ＝ ０.２＝ ２０％ ꎬｘ２ ＝－２.２(舍去) . ∴ ６ꎬ７ 月份产量的月平均增长率为 ２０％ . 五、课堂小结 本节课所学的内容是列一元二次方程解应用题ꎬ体会建模思想ꎬ注意探求题目中隐含的已 知条