17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【良师教案】2023-2024学年八年级下册数学同步教案（沪科版）

良 师 教 案 八 年 级 下 ︵ 沪 科 版 ︶ 求该集团 ２００９ 年到 ２０１１ 年的年销售总额的平均增长率. 　 设平均增长率为 ｘꎬ４０ ０００ ０００ ８％ (１＋ｘ) ２ ＝ ７２０ ０００ ０００ꎬ 即 ２５(１＋ｘ) ２ ＝ ３６ꎬ解得 ｘ１ ＝ ２０％ ꎬｘ２ ＝－２.２(舍去)ꎬ ∴ 年销售总额的平均增长率是 ２０％ . 学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零这一点ꎬ这是本节课需要注意 的地方ꎬ教师应予以特别强调. 麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称美ꎬ这种美以现代数学形式得 到充分的表达.但是ꎬ我们一方面则应当承认ꎬ恰当的数学形式才能充分展示经验方法中看不到 的整体性(电磁对称性)ꎬ另一方面ꎬ我们也不应当忘记ꎬ这种对称性的美是以数学形式反映出 来的电磁场的统一本质ꎬ因此我们应当认为是在数学的表达方式中“发现”或“看出”了这种对 称性ꎬ而不是从物理数学公式中直接推演出这种本质ꎬ这是一个十分重要但又极易混淆的事 实ꎬ而且ꎬ这种认识的意义是非常深刻和长远的. 它与对演绎和归纳的相互关系的理解有直接关系ꎬ一方面ꎬ人们总是把数学表达方式与 “演绎”这一概念等同起来ꎬ把经验的过程意义与“归纳方法”等同起来ꎬ从麦克斯韦方程组的案 例中可以看出ꎬ思想实验具有“经验”的归纳意义ꎬ但却是在数学形式上进行的ꎻ另一方面ꎬ数学 表达式并不是完全在演绎的方式下被运用ꎬ相反ꎬ对它们的归纳综合更具创造性.当然这并不是 说数学演绎不会产生新的发现ꎬ而只是说数学演绎不会产生超出它的演绎前提的结果ꎬ而演绎 的前提从何而来ꎬ这是一个远比数学方法本身更困难、更具认识论意义的问题. 虽然我们现在已无法追踪麦克斯韦和其他物理学家当时的具体思想过程ꎬ但是我们仍可 以领悟到ꎬ一个重要的物理思想的产生与由某个演绎前提推导出一个正确的结果在本质上完 全不同.这样我们势必承认ꎬ一方面ꎬ一个成熟的物理思想与采用何种方式表达毕竟是两回事ꎻ 另一方面ꎬ我们也不能否认恰当的数学表达也具有决定性的作用.我们都承认ꎬ演绎方法在某一 个科学理论中具有涵盖一切的巨大力量ꎬ但演绎的结论总蕴含在前提之中ꎬ在演绎的前提之 外ꎬ它是无能为力的.实际上数学最本质性的特征之一就是它的表达性ꎬ在数学表达方式中ꎬ演 绎方法的作用可以发挥到极致ꎬ正是在这个意义上ꎬ人们都说数学是科学的“语言”ꎬ因此ꎬ数学 中的巨大创造性不仅是它的演绎性ꎬ而且是自身形式的创造. ∗ １７.４　 一元二次方程的根与系数的关系 １.引领学生掌握反映一元二次方程的根与系数关系的定理———韦达定理ꎬ并能初步应用. ２.培养学生分析、观察、归纳的能力和进行推理论证的能力. 　 　 ７４ 数 学 第 １７　 章 　 一 元 二 次 方 程 ３.通过对一元二次方程的根与系数的关系实例的认识过程ꎬ培养学生归纳、推理的能力. ４.联系生活学习数学ꎬ并通过用所学数学知识解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 重点 根与系数关系的推导. 难点 运用韦达定理解决问题. 多媒体课件. 讲练结合. 一、引入新课 师:前面我们已经学习了用公式法解一元二次方程. 一元二次方程的求根公式 ｘ＝ －ｂ± ｂ２－４ａｃ ２ａ ꎬ根据系数 ａꎬｂꎬｃ 的值求出方程的根ꎬ换句话讲ꎬ 方程的根是由系数 ａꎬｂꎬｃ 决定的ꎬ那么我们再来研究根与系数还有怎样的关系.(板书课题) 二、探索新知 １.观察与归纳. 师:请同学们解下列方程ꎬ并观察根与系数的关系: ｘ２＋３ｘ＋２＝ ０　 　 ｘ２－８ｘ＋１５＝ ０ 第一个方程的一个根是－１ꎬ另一个根是－２.它们的和是多少? 积是多少? 生:和是－３ꎬ积是 ２. 第二个方程的一个根是 ３ꎬ另一个根是 ５.它们的和是多少? 积是多少? 生:和是 ８ꎬ积是 １５. 师:观察一下ꎬ它们的和、积与系数之间有什么样的关系? 生:和是一次项的系数的相反数ꎬ积与常数项相等. 师:回答得非常好! 观察发现ꎬ两根之和恰是一次项系数的相反数、两根之积恰是常数项ꎬ而两根之差、两根之 商的结果没有共同规律ꎬ那么两根之和、两根之积的这一规律是否是这几个方程的根与系数的 巧合呢? 不妨再继续观察一下.(只对两根之和与两根之积进行观察) 通过观察ꎬ我们发现结论依然如此ꎬ那么这个规律是否对二次项系数不为 １ 的一元二次方 程也成立呢? 可以发现ꎬ当二次项系数不为 １ 时ꎬｘ１＋ｘ２ 恰为一次项系数除以二次项系数的相反数ꎬｘ１􀅰 ｘ２ 恰为常数项除以二次项系数. 前面列举的题得出的这一结论对其他题是否也成立ꎬ即使列举 １００ 道题都成立ꎬ对第 １０１ ７５ 　 　 良 师 教 案 八 年 级 下 ︵ 沪 科 版 ︶ 题也未必成立ꎬ如何才能说明这一结论对每一个一元二次方程都能成立呢? ２.定理的证明.