第12讲 正方形（九大题型）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第12讲 正方形（九大题型） 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 题型1：正方形的性质 【典例1】．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【典例2】．正方形具有而菱形不一定有的性质是(    ) A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对边相等 D．邻边相等 【典例3】．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角互补 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．四边相等 题型2：利用正方形的性质求角度 【典例4】．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【典例5】．如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 【典例6】．如图，在矩形中，，对角线相交于点，以为边在下方作正方形，已知，连接，则的度数为（    ）        A． B． C． D． 题型3：利用正方形的性质求长度 【典例7】．如图，直线L过正方形的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是3和4，则正方形的边长是（    ） A．5 B．3 C． D． 【典例8】．如图，正方形中，点E，F分别在边，上，于点G，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D． 【典例9】．如图，在菱形中，，，则以为一边的正方形的周长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 题型4：利用正方形的性质求面积 【典例10】．已知，如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的图形．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为，则的值为（     ）    A． B． C． D． 【典例11】．一个正方形的对角线长为，则它的面积是（      ） A． B． C． D． 【典例12】．如图将边长为的大正方形与边长为的小正方形放在一起，则三角形的面积（   ） A．与、大小都有关 B．与、的大小都无关 C．只与的大小有关 D．只与的大小有关 题型5：正方形的判定 【典例13】．已知在四边形中，与相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．，， B． C． D． 【典例14】．下列命题中，假命题是（） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【典例15】．下列说法不正确的是（    ） A．有一个角是直角的菱形是正方形 B．两条对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．四条边都相等的四边形是正方形 题型6：添加一个条件成为正方形 【典例16】．已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【典例17】．如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（    ）    A． B．平分 C． D．是等边三角形 【典例18】．在四边形中，对角线且