6.4.3.2 正弦定理（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.4.3.2 正弦定理 复习导入 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . 复习导入 思考：在上节课中，若已知两边及一角或三边，可以利用余弦定理解三角形。那么，若已知三角形两角及一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在初中，我们有三角形中等边对等角的理论 实际上，三角形中还有大边对大角的边角关系 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在中，设的对边为，的对边为，求之间的定量关系. 可以解决“在中，已知，求”的问题. 新知探究 问题1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间的联系. A B C c b a 根据锐角三角函数，在中，有: 则： 又因为所以 新知探究 问题2：对锐角三角形和钝角三角形，关系式是否仍成立？ A C a b c B D 锐角三角形 钝角三角形 D A B C a b c ； 即： 同理，有 即： ； 即： 同理，有 即： 新知探究 问题2：通你能用其他方法证明关系式成立吗？ 向量法 A B C ·= ·()=·+ · 即| | ||cos()0+ | | ||cos() ⇒csinA=asinC ⇒ ⇒ A B C j ·= ·()= ·+ · 即|| ||cos()0+ | | ||cos() ⇒csinA=asinC ⇒ ⇒ j 新知探究 外接圆法 D 如图，的外接圆为圆，其半径为， 连接并延长，交三角形的外接圆于点，连接， 易知， °,，且 在中，,且 同理可得， 、 综上， 新知探究 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： （为外接圆半径）. 同时，有 辨析1：判断正误. (1)正弦定理只适用于锐角三角形.（ ） (2)正弦定理不适用于直角三角形.（ ） (3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（ ） (4)在中，（ ） × √ × √ 练习巩固 例7：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得： 由正弦定理，得： 练习巩固 练习1：在中，已知，求边. 解：因为，所以 因为根据正弦定理， 得 变式1-1：在中，已知，，则 【答案】： 练习巩固 变式1-2：在中，已知，，，解这个三角形 解： 由正弦定理得，即， 解得 同理，由 练习巩固 例8：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ，得： 因为，所以 于是或 ①当时， 此时， 练习巩固 例8：在中，已知，，，解这个三角形. (2)当时， 此时， 练习巩固 练习2：在中，已知求. 解：∵ ，∴，解得. 又∵，，∴. ∴， ， ∴. 练习巩固 变式2-1：在中，已知，，求边的长. 解：由，得. ∵，∴，∴或. ①当时，. 此时，. ②当时，. 此时，. 综上知或. 练习巩固 变式2-2：在中，已知，，则角为（ ）. ． ． ． ．或 【答案】： 思考：在前面的题目中我们可以发现，有一些三角形有两个解，有一些有两个解，为什么会出现这一情况？ 由三角函数的性质可知， 在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解； 正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解. 练习巩固 练习3：在中，若且试判断的形状. 解：(法一)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角，， ∴ ∴.∵，∴ ∴是等腰直角三角形. 练习巩固 练习3：在中，若且试判断的形状. 解：(法二)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角， ∵ ∴ ∴.又，∴ ∴是等腰直角三角形. 练习巩固 变式3-1：在中，若且那么一定是（ ） ．等腰直角三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形 【答案】： 变式3-2：在中，若且那么一定是（ ） ．等腰直角三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形 【答案】： 小结 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： （为外接圆半径）. 同时，有 $$