7.3.4 正切函数的性质与图象（3知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

7.3.4 正切函数的性质与图象 课程标准 学习目标 （1）能画出正切函数的图象； （2）会利用的性质确定与正切函数有关的函数性质； （3）会利用正切函数的单调性比较函数值大小； （4）掌握正切函数的定义域与正切曲线的渐近线。 （1）了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质，重点培养数学抽象核心素养； （2）利用的性质与图象解决有关问题，重点提升数学运算核心素养。 知识点01 正切函数的定义与性质 1、正切函数的定义：对于任意一个角，只要，就有唯一确定的正切值与之对应，因此是一个函数，称之为正切函数。 2、正切函数的性质 （1）定义域与值域：定义域为，值域是R； （2）奇偶性：奇函数； （3）周期性：最小正周期为； （4）单调性：在每一个开区间上都是单调递增的； （5）零点： 【即学即练1】（2021上·山西太原·高一校考阶段练习）（多选）（ ） A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数 C．在每一个开区间上为增函数 D．在每一个闭区间上为增函数 知识点02 正切函数的图象 1、正切函数的图象 2、正切曲线：正切函数的图象叫做正切曲线，正切曲线是由通过点且与轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成；正切曲线是中心对称图形，对称中心是 【即学即练2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号） 知识点03 正切型函数的相关性质 1、定义域：由不等式得到； 2、周期：讨论可参照的周期的讨论方法和求法，须特别注意的是的周期是，而的周期是； 如果直线(为常数)与函数的图像的相邻两支的交点为和，那么两相邻交点间的长度就是一个周期，即； 3、的单调区间：只需要令解出即可，但时，应先用诱导公式将系数化为正的，还要注意的正负对单调性的影响。 【即学即练3】（2023·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）函数是（ ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 【题型一：正切函数的定义域与不等式】 例1．（2024·新疆阿勒泰·高一统考期末）函数的定义域为 . 变式1-1．（2023·内蒙古包头·高一统考期末）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 变式1-2．（2023·山西朔州·高一校联考阶段练习）函数的定义域为（ ） A．， B．， C．， D．， 变式1-3．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是( ) A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、求正切函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即； （2）求正切函数的定义域时，要将 “”视为一个“整体”，令，，解得 2、解正切不等式的方法 （1）图象法：即先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的几何； （2）三角函数线法：现在单位圆中作出角的边界值时的正切项，得到边界线的终边，再单位圆中画出符合条件的区域，要特别注意函数的定义域。 【题型二：正切函数的值域求解】 例2．（2023·全国·高一专题练习）函数且的值域是( ) A． B． C． D． 变式2-1．（2023·江苏·高一专题练习）函数的值域为 ． 变式2-2．（2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知为钝角，则的最大值为 ． 变式2-3．（2023·河北衡水·高一校考阶段练习）函数在上的最大值为，最小值为，则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 通常将正切函数当做整体，可利用换元法（令）将含有正弦函数的表达式简化，再结合基本初等函数的单调性求值域。三角函数值域的常见类型有： 1、形如型：可利用正弦函数的有界性，注意对a正负的讨论 2、形如型：可利用换元思想，设，转化为二次函数求最值，t的范围需要根据定义域来确定． 3、形如，可先由定义域求得的范围，然后求得的范围，最后求得最值 4、分式型：（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式法 【题型三：正切函数的周期性及应用】 例3．（2024·北京大兴·高一统考期末）函数的最小正周期等于（ ） A． B． C． D． 变式3-1．（2024·贵州安顺·高一统考期末）函数的最小正周期为（ ） A． B． C．