6.2.3 向量的数乘运算-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

6.2.3 向量的数乘运算 高一下学期 1、掌握向量数乘运算的定义； 2、掌握向量数乘运算的运算律； 3、掌握向量共线定理； 4、通过学习向量的有关概念，提升数学抽象素养；通过判断与向量有关命题的真假，提升逻辑推理素养. 重点：向量数乘运算的定义和运算律 难点：向量共线定理 学习目标 思考：已知非零向量作出和，它们的长度和方向分别是怎样的？ 追问：在整式运算中，我们可以将用乘法简写为，对于非零向量，我们可以怎样简写呢？ 新知探究 当时，_____. 1、向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作. (1)； (2)当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反. 当. 模长： 方向： 零乘任何向量的结果为零向量； 乘任何向量得到这个向量的相反向量. 新知探究 探究：求作向量和(为非零向量)，向量和， 向量和，并进行比较，你发现了什么？ = 新知探究 教材P15 2、根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的. 设为实数，那么 (1) (2) (3) 你能证明这些运算律吗？ 特别地，我们有： 对于向量，，以及实数，，，恒有. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.线性运算的结果仍是向量. 证明(1) 证：当或或时，上式显然成立. 当或或时，由向量数乘运算的定义，得： ， 当同号时，上式两边向量的方向与向量的方向相同； 当异号时，上式两边向量的方向与向量的方向相反. 所以. (2)(3)的证明略. 新知探究 教材P15 2、根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的. 设为实数，那么 (1) (2) (3) 特别地，我们有： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.线性运算的结果仍是向量. 对于向量，，以及实数，，，恒有. 例题：计算： (1)； (2) (3) 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式 典例精析 教材P16 2、化简： (1)； (2) (3) 例题：如图，□的两条对角线相交于点，且，， 用表示，，和. 解：在□中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得： 典例精析 练习：用表示，. 习题演练 1、辨析：(1). (2)若，则有 (3)若，则有. (4). 2、点在直线上，且，则_________，_________ 或 或     习题演练 已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即， 那么当与同方向时，有；当与反方向时，有 可以发现，引入向量数乘运算后，实数与向量的积与原向量共线. 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线. 思考：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的位置关系怎样？ 新知探究 3、向量共线定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 辨析：(1)若向量与共线，则存在唯一一个实数，使. (2)若存在，使，则必有. (2)若，则与共线. 教材P16   ✔ 1、判断下列各小题是否共线： ，； ，. 新知生成 例题：已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数. 解：由于不共线，易知向量为非零向量. 由向量，共线，可知存在实数，使得，即.由不共线，必有. 否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾. 由解得因此，当向量，共线时，. 典例精析 教材P16 3、已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，求实数的值. 设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使. 也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示. 解：， ， 所以.且有公共点，因此，，三点共线. 例题：如图，已知任意两个非零向量，试作，，.猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 新知生成 例题：如图，已知任意两个非零向量，试作，，.猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 解：分别作向量，，，过点，作直线， 不论向量怎样变化，点始终在直线上， 猜想三点共线. 思考：若3，则四点共线？ 典例精析 变式2：若三点共线，为直线外一点，且满足，则_____. 思考：若三点共线，为直线外一点，，则 _____. 变式1：若所在平面内一点满足，其中，则点必在边_______所在的直线上. AC 和为1 1 习题演练 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定三点是否