专题1.10 奔驰定理及三角形的四心（强化训练）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第二册）

专题1.10奔驰定理及三角形的四心 题型一 奔驰定理求面积比 题型二 重心问题 题型三 垂心问题 题型四 内心问题 题型五 外心问题 题型一 奔驰定理求面积比 1．已知是正三角形内部一点，且,则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D．5 2．设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（    ）      A．O为的外心 B． C． D． 4．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 5．根据“奔驰定理”，解决以下问题： (1)点O为内一点，若，设，求实数和的值； (2)若O为的外心，证明：. 6．点为内一点，，则的面积之比是 . 7．已知点O为内一点，满足，则与的面积之比是 ． 题型二 重心问题 8．已知点是边长为2的正三角形的重心，则（    ） A．1 B． C．2 D． 9．在中，，，，点是的重心，则（    ） A．7 B．8 C． D． 10．已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（多选）已知，点是平面内一点，记，，则（    ） A．当，时，则在方向上的投影向量为 B．当，时，为锐角的充要条件是 C．当时，点、、三点共线 D．当，时，动点经过的重心 12．（多选）在中，内角的对边分别为为内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则的面积与的面积之比是 B．若，则满足条件的三角形有两个 C．若，则为等腰三角形 D．若点是的重心，且，则为直角三角形 13．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 题型三 垂心问题 14．设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 15．（多选）设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则点D是边BC的中点 B．若，则直线AD经过的垂心 C．若，则点D在边BC的延长线上 D．若，且，则是面积的一半 16．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，点在直线上，且，则的坐标为； B．已知是的外接圆圆心，，则向量在向量上的投影向量为 C．若，且，则 D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心． 17．（多选）已知，在所在的平面内，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A．为的外心 B．为的垂心 C．为的内心 D．为的重心 18．若是的垂心，且，则的值为 ． 题型四 内心问题 19．在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 20．（多选）下列说法中错误的有（    ） A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．已知向量，，则不能作为平面的一个基底 C．若，，则 D．是所在平面内一点，且满足，则是的内心 21．在中，，I为的内心，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 23．已知是所在平面内一点，且点满足 则点一定的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 题型五 外心问题 24．已知中，，，，为的外心，若 ，则m的值为（   ） A． B． C． D． 25．已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 26．在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 27．（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则点的轨迹不可能经过的外心 B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心 C．若，则点的轨迹可能经过的重心 D．若，则点的轨迹可能经过的内心 28．设为的外心，，，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.10奔驰定理及三角形的四心 题型一 奔驰定理求面积比 题型二 重心问题 题型三 垂心问题 题型四 内心问题 题型五 外心问题 题型一 奔驰定理求面积比 1．已知是正三角形内部一点，且,则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】分别取、的中点、，连接，确定点的位置，即可计算出的面积与的面积之比. 【详解】由，则，如下图所示： 分别取