1.1 菱形的性质与判定 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 知1－讲 感悟新知 知识点 菱形的定义及其性质 1 1.定义  有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . 感悟新知 知1－讲 特别提醒 ◆菱形必须满足两个条件： 一是平行四边形； 二是一组邻边相等 . 二者必须同时具备，缺一不可 . ◆菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法 . 感悟新知 2.性质如下表 知1－讲 图形 性质 数学表达式 菱形的四条边相等 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD 菱形的对角线互相垂直 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥ AC 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴 感悟新知 特别提醒： (1) 菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等以及直线的平行、垂直等关系 . (2)由菱形的性质与勾股定理的联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和 . (3)如果菱形的一个内角为 60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形 . 知1－讲 知1－练 感悟新知 如图1-1-1，在△ ABC中， CD平分∠ ACB交AB于点D，DE ∥ AC 交 BC 于点 E， DF ∥ BC 交 AC 于点 F. 四边形 DECF是菱形吗？为什么？ 例1 知1－练 感悟新知 解：四边形 DECF 是菱形 . 理由如下： ∵ DE ∥ FC， DF ∥ EC， ∴四边形 DECF 为平行四边形 . ∵ AC ∥ DE，∴∠ 2= ∠ 3. ∵ CD 平分∠ ACB，∴∠ 1= ∠ 2. ∴∠ 1= ∠ 3. ∴ DE=EC. ∴平行四边形 DECF 为菱形 . 解题秘方：紧扣菱形的定义中“两个条件” 进行判断 . 知1－练 感悟新知 1-1.如图，在平行四边形 ABCD 中， 点 O 是AD 的 中 点， 连接 CO并延长交 BA 的延长线于点 E，连接 AC， DE. (1)求证： 四边形ACDE 是平行四边形； 知1－练 感悟新知 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE. ∵点O是AD的中点，∴AO＝DO. 又∵∠AOE＝∠DOC， ∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝CD. 又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形． 知1－练 感悟新知 (2)若 AB=AC，判断四边形 ACDE 的形状，并说明理由 . 解：四边形ACDE是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD.又∵AB＝AC，∴CD＝AC. 又由(1)可知四边形ACDE是平行四边形， ∴四边形ACDE是菱形． 感悟新知 知1－练 如图 1-1-2，在菱形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD上的点，且∠ B= ∠ EAF=60°，∠ BAE=18° . 求∠ CEF 的度数 . 例2 知1－练 感悟新知 解题秘方：紧扣菱形的性质、三角形外角的性质求解 . 解：如图 1-1-2，连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠ B=60° ， ∴ AB=BC=CD=DA，∠ D= ∠ B=60° . ∴△ ABC 和△ ACD 均为等边三角形 . ∴ AB=AC，∠ B= ∠ ACF= ∠ BAC=60° . ∵∠ EAF=60°，∴∠ BAC= ∠ EAF. 知1－练 感悟新知 ∴∠ BAE= ∠ CAF. ∴△ ABE ≌△ ACF ( ASA ) . ∴ AE=AF. 又∵∠ EAF=60°，∴△ EAF 是等边三角形 . ∴∠ AEF=60° . ∵∠ AEC= ∠ B+ ∠ BAE= ∠ AEF+ ∠ CEF， ∴ 60° +18° =60° + ∠ CEF. ∴∠ CEF=18° . 知1－练 感悟新知 2-1.如图， 在菱形ABCD 中， ∠ BAD=80 °， AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F， E 为垂足， 连接DF，则∠ CDF 的度数为_____ . 60° 知1－练 感悟新知 如图 1-1-3，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC， BD相交于点 O，且 AB=2. 例3 知1－练 感悟新知 解题秘方：紧扣菱形边、对角线的性质，根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理求线段长是解决问题的关键 . 知1－练 感悟新知 (1)求菱形 ABCD 的周长； 解：∵四边形 ABCD 是菱形，AB=2， ∴菱形 ABCD 的周长为 2× 4= 8. 知1－练 感悟新知 (2)若 AC=2，求 BD 的长 . 解：∵四边形 ABCD 是菱形， AC=2， ∴ AC ⊥ BD， BO= BD， AO= AC= 1. 在 Rt △ AOB 中，∵ AB=2， AO=1， ∴ BO = = = . ∴ BD = 2BO =