6.2.4 向量的数量积（导学案） -【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.2.4 向量的数量积 导学案 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义； 2.会用基底表示某一向量； 3.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。 重点难点 1． 重点： (1) 平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角． (2) 掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2． 难点： (1) 平面向量数量积定义的理解，平面向量数量积的性质． (2) 理解平面向量数量积的运算律. 课前预习 自主梳理 知识点一 两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角. (2)显然，当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b . 如果a与b的夹角是，我们说a与b ，记作 两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.　　　 知识点二 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 知识点三 投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 　　 图(1)　　　　　　　图(2) 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝ . (1)向量的数量积是一个实数，其值可正、可负、可为0. (2)数量积“a·b”不能写成“ab”或“a×b”.　　　 知识点四 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝ ； (2)a⊥b⇔ ； (3)当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ，特别地，a·a＝ 或|a|＝. (4)|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立). (5)cos θ＝. 知识点五 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.( ) (2)a·0＝0.( ) (3)a·(b·c)＝(a·b)·c.( ) (4)·＋·＝·(＋)＝·.( ) 2.（2023下·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3.（2023下·高一课时练习）已知，，，是边上的点，且，为的外心，的值为（    ） A．8 B．10 C．18 D．9 4.（2021·高一单元测试）设，，为非零不共线向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5.（2022下·浙江温州·高三统考开学考试）已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（    ） A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移（图6.2-18），那么力所做的功 ， 其中是与的夹角． 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念． 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念． 已知两个非零向量，（图6.2-19），是平面上的任意一点，作，． 则叫做向量与的夹角． 显然，当时，与同向；当时，与反向． 如果与的夹角是，我们说与垂直，记作 ． 环节二 观察分析，感知概念 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积（inner product）），记作，即． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角