第10章 培优课3 电场线、等势面与电荷运动轨迹问题　电场中的功能关系（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中物理必修第三册（人教版2019）

培优课三　电场线、等势面与电荷运动轨迹问题　电场中的功能关系 [学习目标]　1.掌握电场线、等势面与电荷运动轨迹相结合问题的分析思路和方法（科学思维）.2. 会利用功能关系、能量守恒定律分析电场综合问题（科学思维）. 课堂·深度探究 （见学生用书P38） 考点一　电场线、等势线与电荷运动轨迹问题 1.速度方向：沿运动轨迹某点的切线方向. 2.静电力的方向：带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时，带正电的粒子所受静电力的方向沿电场线的切线方向，所受合力的方向指向轨迹曲线凹侧. 3.电场线和等势线的关系：一般思路：要根据等势线与电场线处处垂直的关系和电势高低画出电场线帮助分析问题. 4.静电力做功的正负及电势能的增减关系：若静电力与速度方向的夹角为锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向的夹角为钝角，则静电力做负功，电势能增加. 5.粒子的加速度变化：根据牛顿运动定律知，加速度变化取决于带电粒子在电场中所受合力的变化.其中静电力的大小变化可根据电场线（或等差等势面）的疏密情况来确定. 6.粒子运动的速度变化或动能的增减的判断：根据动能定理知，若合力对粒子做正功，则粒子的速度变大，动能增加；若合力对粒子做负功，则粒子的速度变小，动能减少. 当然，粒子运动过程中动能、电势能的变化情况也可以根据能量的转化与守恒定律来判断. 【例题1】某电场的电场线分布如图实线所示，以下说法正确的是 （　　） A.c点电场强度小于b点电场强度 B.b点电势低于c点电势 C.若将一带电荷量为＋q的试探电荷由a点移动到d点，电荷的电势能将减小 D.若某一点电荷只在静电力的作用下沿虚线由a点运动到d点，可判断该点电荷一定带负电 思维导引：根据电场线判断电场强度的强弱变化，可得出电场力的大小变化，由运动轨迹可知带电粒子的运动情况，进而判断电势、电势能的变化. C　解析电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，则c点的电场强度大于b点的电场强度，选项A错误；沿着电场线方向电势降低，故b点的电势高于c点的电势，选项B错误；沿着电场线方向电势降低，故a点的电势高于d点的电势，故将一带电荷量为＋q的试探电荷由a点移动到d点，电荷的电势能将减小，选项C正确；由点电荷的运动轨迹弯曲方向可知，点电荷所受静电力与电场线方向相同，故点电荷带正电，选项D错误. 【变式1】如图所示，某次雷雨天气，带电云层和建筑物上的避雷针之间形成电场，图中虚线为该电场的三条等差等势线，实线为某带电粒子从A运动到B的轨迹，A、B为运动轨迹上的两点.带电粒子的重力不计，避雷针带负电.则 （　　） A.带电粒子带负电 B.避雷针尖端附近电势较高 C.带电粒子在A点的加速度大于在B点的加速度 D.带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能 D　解析根据带电粒子的运动轨迹可知，带电粒子受到指向曲线弯曲内侧的作用力，即带电粒子与带负电的避雷针之间为相互吸引力，带电粒子带正电，选项A错误；避雷针带负电，带电云层和建筑物上的避雷针之间形成的电场中，电场线指向避雷针，沿着电场线的方向，电势降低，由此可知，避雷针尖端附近电势较低，选项B错误；等差等势线越密集的位置，电场强度越强，由此可知，B点的电场强度大小大于A点的，由牛顿第二定律a＝，则带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度，选项C错误；避雷针尖端附近电势较低，即φA＞φB，根据电势能与电势的关系Ep＝qφ，又因为粒子带正电，则带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能，选项D正确. 考点二　电场中的功能关系 1.合力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk，这里的W合指合外力做的功. 2.静电力做功决定带电体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.这与重力做功和重力势能变化的关系类似. 3.只有静电力做功时，带电体电势能与动能的总量保持不变，即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2.这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似. 【例题2】如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心O处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点.现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球从A点由静止开始沿杆下滑.已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为. （1）求小球滑到C点时的速度大小； （2）若以B点作为零电势点，试确定A点的电势. 思维导引：小球运动过程中，机械能变化，电势能也变化，且相互转化；点电荷为圆心的圆周是点电荷的等势线. 解析（1）由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝R，小球从B到C运动的过程中静电力做的总功为零， 根据动能定理有mghBC＝m－m， 解得vC＝2. （2）小球从A到B，重力和静电力均做正功， 由动能定理有 mg（3R－hBC）＋（－q）UAB＝m－0， 其中UAB＝φA－φB， 解得φA＝－. 答案（1）2　 （2）－ 【变式2】（多选）图中虚线A、B、C、D表示匀强电场的等势面，一带正电的粒子只在电场力的作用下，从a点运动到b点，轨迹如图中实线所示，下列说法中正确的是 （　　） A.等势面A电势最低 B.粒子从a运动到b，动能减小 C.粒子从a运动到b，电势能减小 D.粒子从a运动到b的过程中电势能与动能之和不变 CD　解析电场线与等势面垂直，带正电粒子所受静电力的方向与电场强度方向相同，曲线运动所受合力指向曲线的凹侧；带正电的粒子只在静电力的作用下，从a点运动到b点，轨迹如图中实线所示，可画出速度和电场线及受力方向如图所示，则静电力的方向向右，电场线的方向向右，顺着电场线电势降低，等势面A电势最高，选项A错误；粒子从a运动到b，只受静电力，静电力的方向与运动方向成锐角，静电力正功，粒子的电势能减小，动能增加，只受静电力作用，粒子的电势能与动能之和不变，选项B错误，C、D正确. 课末·随堂演练 （见学生用书P39） 1.（电场线与粒子运动轨迹问题）如图所示，实线表示某电场的电场线（方向未标出），虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M点和N点时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN.下列判断正确的是 （　　） A.vM＜vN，aM＜aN B vM＜vN，φM＜φN C.φM＜φN，EpM＜EpN D.aM＜aN，EpM＜EpN D　解析由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN＜φM，EpM＜EpN；N点附近电场线比M点密，故场强EM＜EN，由加速度a＝知aM＜aN，粒子若从N点运动到M点，静电力做正功，动能增加，故vM＞vN，粒子若从M点运动到N点，静电力做负功，动能减小，故vM＞vN.综上所述，选项D正确. 2.（电场线与粒子运动轨迹问题）两个固定的等量异种点电荷所形成的电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹如图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列判断正确的是 （　　） A.粒子带正电 B.b点和d点的电场强度相同 C.粒子的动能先减小后增大 D.粒子在a点的电势能小于在e点的电势能 C　解析粒子运动轨迹向上弯曲，可知带电粒子受到了的力的作用，指向高电势，所以粒子带负电，选项A错误；在电场中等势面与电场线是垂直的，由图可知，b、d两点等势面的弯曲的方向不同，则过b、d两点，且与－5 V的等势面垂直的电场线的方向是不同的，所以b、d两点的电场强度是不同的，选项B错误；粒子从a到c的过程中，静电力做负功，从c到e的过程中，静电力做正功，即粒子在静电场中静电力先做负功后做正功，则电势能先增大后减小，动能先减小后增大，选项C正确；a、e两点电势相等，故粒子在a、e两点电势能相等，选项D错误. 3.（功能关系在电场中的应用）如图所示，一个质量为9.1×10－31 kg、电荷量为1.6×1019 C的电子，以4×106 m/s的速度从M点垂直电场线方向飞入匀强电场，电子只在电场力的作用下运动，在N点离开电场时，其速度方向与电场线成150°角，则M与N两点间的电势差约为 （　　） A.－1.0×102 V B.－1.4×102 V C.1.8×102 V D.2.2×102 V B　解析电子在静电力的作用下做类平抛运动，在垂直电场方向上做匀速直线运动 vN＝＝ m/s＝8×106 m/s， 根据动能定理得（－e）·UMN＝m－m， 所以有UMN＝＝ V＝－136.5 V. 选项B正确，A、C、D错误. 课后·限时作业 （建议用时：40分钟） （见学生用书P155） [基础题组练] 题组一　 电场线、等势线与电荷运动轨迹问题 1.若带正电荷的小球在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内 （　　） A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动 B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动 C.不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动 D.不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动 D　解析小球的运动情况取决于合力和初速度的关系，小球只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，小球有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且小球的运动方向沿着电场线时，小球才沿电场线运动，小球不一定由高电势处向低电势处运动，选项A、B、C错误，D正确. 2.（多选）负点电荷Q固定在正方形的一个顶点上，带电粒子P仅在该电荷的静电力作用下运动时，恰好能经过正方形的另外三顶点a、b、c，如图所示，则 （　　） A.粒子P带负电 B.a、b、c三点的电势高低关系是φa＝φc＜φb C.粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小 D.粒子P在a、b、c三点时的加速度大小之比是2∶1∶2 BCD　解析由运动轨迹可知，粒子P受引力作用，粒子带正电，选项A错误；a、c与负点电荷Q的距离相等，b点距离负点电荷Q较远，距离负电荷越远，电势越高，选项B正确；正电荷在电势越高（低）的位置，电势能越大（小），结合A、B选项，粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小，选项C正确；由几何关系，a、b、c三点到负点电荷Q的距离关系为ra＝rc＝rb，又根据F＝k＝ma，得aa∶ab∶ac＝2∶1∶2，选项D正确. 3.如图所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势线，正点电荷q仅在静电力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处.b点为轨迹上离O点最近的点，由此可知 （　　） A.O为负点电荷 B.在整个过程中q的电势能先变小后变大 C.在整个过程中q的速度先变大后变小 D.在整个过程中，静电力做功为零 D　解析由运动轨迹分析可知q受到库仑斥力的作用，O点的电荷应为正点电荷，选项A错误；从a到b的过程q受到逐渐变大的库仑斥力，速度逐渐减小，加速度增大，电势能逐渐增大；而从b到c的过程q受到逐渐变小的库仑斥力，速度逐渐增大，加速度减小，电势能逐渐减小，选项B、C错误；由于a、c两点在同一等势线上，整个过程中，静电力做功为零，选项D正确. 4.两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等差等势面如图中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是 （　　） A.a、b、c、d、e各点中c点电势最高 B.b点和d点的电场强度相同 C.粒子在a点的电势能大于在c点的电势能 D.粒子从a点运动到e点的过程中的动能先减小后增大 D　解析从粒子运动轨迹看出，轨迹向上弯曲，可知带负电粒子受到了向上的静电力的作用，可知电场强度方向大致向下，沿电场线电势逐渐降低，则a、b、c、d、e各点中c点电势最低，选项A错误；根据两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面的特点可得，b点和d点的电场强度大小相同，方向不同，选项B错误；根据电势能Ep＝φq可知，负电荷在电势高的地方电势能低，故粒子在a点的电势能小于在c点的电势能，选项C错误；粒子从a点运动到e点的过程中电势能先增大后减小，所以动能先减小再增大，选项D正确. 题组二　电场中的功能关系 5.（多选）一个电荷只在静电力作用下从电场中的A点移到B点时，静电力做了5×10－6 J的功，那么 （　　） A.电荷在B点将具有5×10－6 J的电势能 B.电荷在B点将具有5×10－6 J的动能 C.电荷的电势能减少了5×10－6 J D.电荷的动能增加了5×10－6 J CD　解析因电荷在A点的动能和电势能不知道，所以不能确定电荷在B点的动能和电势能，选项A、B错误；电荷只在静电力作用下从电场中的A点移到B点时，静电力做正功，电荷电势能减少，静电力做了多少正功，电荷电势能就减少多少，由动能定理可知动能增加W电＝ΔEk＝5×10－6 J，选项C、D正确. 6.（多选）质量为m的带电小球在匀强电场中以初速度v0水平抛出，小球的加速度方向竖直向下，其大小为g.则在小球竖直分位移为H的过程中，以下结论中正确的是 （　　） A.小球的电势能增加了 B.小球的动能增加了 C.小球的重力势能减少了 D.小球的机械能减少了 BD　解析分析小球的受力情况，根据牛顿第二定律可知，mg－qE＝ma，解得静电力qE＝mg，方向竖直向上，在小球竖直分位移为H的过程中，静电力做功为－mgH，根据功能关系可知，小球的电势能增加mgH，机械能减小了mgH，选项A错误，D正确；重力做功为mgH，重力势能减少了mgH，选项C错误；根据动能定理可知，合外力做功，动能增加了，选项B正确. 7.（多选）如图所示，绝缘水平面上固定一正点电荷Q，另一质量为m、电荷量为－q的小滑块（可看作点电荷）从a点以初速度v0沿水平面向Q运动，到达b点时速度减为零.已知a、b间距离为s，滑块与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.则以下判断正确的是 （　　） A.滑块在运动过程中所受Q的库仑力一定小于滑动摩擦力 B.滑块在运动过程中的中间时刻，速度大小等于 C.此过程中产生的内能小于m D.Q产生的电场中，a、b两点间的电势差为Uab＝ AD　解析滑块水平方向受大小不变的摩擦力及逐渐增大的库仑力，在滑动过程中，随着间距减小，库仑力增大，但仍小于滑动摩擦力，根据牛顿第二定律可得，滑块的加速度逐渐减小，做加速度逐渐减小的减速运动，故滑块在运动过程中的中间时刻的速度小于，选项A正确，B错误；由动能定理可得－qUab－μmgs＝0－m，解得两点间的电势差Uab＝，选项D正确，由功能关系可知此过程中产生的内能Q'＝μmgs，由选项D的解析可得Q'＝m－qUab，因a点电势低于b点电势，故Uab为负值，故产生的内能大于m，选项C错误. 8.（多选）如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点.先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处（电势为0）移到C点，此过程中，静电力做功为－W.再将Q1从C点沿CB移到B点并固定.最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点.下列说法正确的有 （　　） A.Q1移入之前，C点的电势为 B.Q1从C点移到B点的过程中，所受静电力做的功为0 C.Q2从无穷远处移到C点的过程中，所受静电力做的功为2W D.Q2在移到C点后的电势能为－4W ABD　解析根据静电力做功与电势能的变化关系知Q1在C点的电势能Ep＝W，根据电势的定义知C点电势φ＝＝，选项A正确；在A点的点电荷产生的电场中，B、C两点处在同一等势面上，Q1从C移到B的过程中，静电力做功为0，选项B正确；单独在A点固定电荷量为＋q的点电荷时，C点电势为φ，单独在B点固定点电荷Q1时，C点电势也为φ，两点电荷都存在时，C点电势为2φ，Q2从无穷远移到C点时，具有的电势能E'p＝－2q×2φ＝－4 W，静电力做功W'p＝－E'p＝4 W，选项C错误，D正确. [能力提升练] 9.如图所示，真空中有一个固定的点电荷，电荷量为＋Q，图中的虚线表示该点电荷形成的电场中的四个等差等势面.有两个一价离子M、N（不计重力，也不计它们之间的静电力）先后从a点以相同的速率v0射入该电场，运动轨迹分别为曲线apb和aqc，其中p、q分别是它们离固定点电荷最近的位置.以下说法中正确的是 （　　） A.M一定是正离子，N一定是负离子 B.M在p点的速率一定小于N在q点的速率 C.M在b点的速率一定大于N在c点的速率 D.M从p→b过程电势能的增量一定小于N从a→q过程电势能的增量 D　解析由题图可知离子N受到中心电荷的斥力，而离子M受到中心电荷的引力，故两离子的电性一定不同，由于中心电荷带正电，则M一定是负离子，N一定是正离子，选项A错误；由题图可判定M在从a到P运动过程中，静电力做正功，动能增加，而N在从a到q运动过程中，静电力做负功，动能减小，所以M在p点的速率一定大于N在q点的速率，选项B错误；由于a、b、c三点在同一等势面上，所以M在从a向b运动过程中静电力所做的总功为0，N在从a向c运动过程中静电力所做的总功为0.由于两离子以相同的速率从a点射入电场，故两离子分别经过b、c两点时的速率一定相等，选项C错误；由题图可知q点离正电荷更近一些，N离子在从a向q运动过程中静电力做负功的值大于离子M在从p向b运动过程中静电力做负功的值，故M从p到b过程电势能的增量一定小于N从a到q电势能的增量，选项D正确. 10.（多选）如图所示，长为L、倾角为θ＝30°的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电荷量为＋q、质量为m的小球，以初速度v0由斜面底端的A点开始沿斜面上滑，到达斜面顶端的速度仍为v0，则（重力加速度为g） （　　） A.小球在B点的电势能一定大于小球在A点的电势能 B.A、B两点间的电势差UAB一定为 C.若电场是匀强电场，则电场强度的最大值一定是 D.若该电场是AC边中点处的点电荷Q产生的，则Q一定是正电荷 BD　解析小球从A运动到B的过程中，动能不变，重力势能增加，则电势能减少，则小球在B点的电势能一定小于小球在A点的电势能，B点的电势低于A点的电势，选项A错误；根据动能定理得－mgLsin θ＋qUAB＝m－m＝0，可得UAB＝＝，选项B正确；若静电力与重力、支持力的合力为零，小球做匀速直线运动，到达B点时小球速度仍为v0，小球的重力沿斜面向下的分力mgsin θ为定值，则当静电力沿斜面向上，且大小为F＝mgsin θ时，静电力最小，电场强度最小，若电场强度与运动方向不共线，则静电力沿斜面向上的分力与重力沿斜面向下的分力相平衡.根据矢量的合成法则可知，静电力可能大于mg，电场强度可能大于，选项C错误；若该电场是AC边中点处的点电荷Q产生的，Q到A点的距离小于到B点的距离，由于B点的电势低于A点的电势，则Q一定是正电荷，选项D正确. 11.一个质量为m、带有－q的电荷量的小物体，可在水平轨道Ox轴上运动，轴的O端有一个与轨道相垂直的固定墙面，轨道处于匀强电场中，场强大小为E，方向沿Ox轴正向，如图所示.小物体以初速度v0从x0处沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力Ff的作用，且Ff＜qE.设小物体与墙壁碰撞时不损失机械能，且电荷量保持不变，求它停止运动前通过的总路程s. 解析方法一　由题意知，小物块最终停在最左端，由动能定理得W合＝ΔEk， 即W合＋Wf＝0－m（W电、Wf分别是静电力做的功和摩擦力做的功）， 其中W电＝qEx0，Wf＝－Ffs， 故qEx0－Ffs＝－m， 所以总路程为s＝. 方法二　用能量守恒定律求解. 设小物块共走过路程s，克服摩擦力做功的值为Ffs，这也就是转变为内能的能量. 动能、电势能减少ΔE＝qEx0＋m， 内能增加ΔE'＝Ffs， 由ΔE＝ΔE'，解得s＝. 答案 12.如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，相邻等势面间隔均为d，各等势面电势已在图中标出（U＞0），现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：（重力加速度为g） （1）小球应带何种电荷及其电荷量； （2）小球受到的合外力大小； （3）在入射方向上小球运动的最大位移的大小xm.（电场范围足够大） 解析（1）作出电场线如图甲所示，由题意知，只有小球受到向左的静电力，静电力和重力的合力方向与初速度方向才可能在一条直线上，如图乙所示.只有当F合方向与v0方向在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动. 由图乙知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U， 所以E＝，所以q＝＝. （2）由图乙知，F合＝＝mg. （3）由动能定理得－F合xm＝0－m， 所以xm＝＝. 答案（1）正电荷　　（2）mg　（3） 学科网（北京）股份有限公司 $$