6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 （见学生用书P23） [学习目标]1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角（重点）.2.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件（重点）.3.发展逻辑推理和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　平面向量数量积的坐标表示 若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝　x1x2＋y1y2　，即两个向量的数量积等于　它们对应坐标的乘积的和　. 思考：向量数量积的坐标表示公式有什么特点？用时应注意什么？数量积坐标运算的作用是什么？ 提示公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序，数量积坐标运算的作用是将数量积运算转化为代数运算. 要点二　两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b ⇔　x1x2＋y1y2＝0　. 要点三　用坐标表示的三个重要公式 1.向量的模的公式：设a＝（x，y），则｜a｜＝　　. 2.两点间的距离公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），则｜｜＝　　. 3.向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b 的夹角为θ，则cos θ＝＝　　. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）向量的模等于向量坐标的平方和. （　　） （2）若向量＝（2，2），＝（－2，3）分别表示两个力F1，F2，则｜F1＋F2｜＝5. （　　） （3）两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°. （　　） （4）向量的夹角公式仅适用于两个非零向量. （　　） 解析（1）错误，向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根. （2）正确，｜F1 ＋F2｜＝｜（2，2）＋（－2，3）｜＝｜（0，5）｜＝5. （3）错误，当x1y2－x2y1＝0时，a∥b，则向量a与b的夹角为0°或180°. （4）正确，分式的分母不能为零. 答案（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 关键能力·素养提升 探究一　平面向量数量积的坐标运算 　　规律总结　　　　　　　　　　　 （1）数量积运算的两个途径：①先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算. ②先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算. （2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，注意把握图形特征，并写出相应点的坐标即可求解；对于条件中未给出向量坐标的，可通过建系转化为坐标运算. 【例题1】已知向量a＝（2，4），b＝（1，2）. （1）求a·b； （2）若c＝（2，－1），求（a·b）·c及a·（b·c）. 解析（1）由题意可得a·b＝（2，4）·（1，2）＝2×1＋4×2＝10. （2）由（1）知a·b＝10，所以（a·b）·c＝10（2，－1）＝（20，－10），而b·c＝（1，2）·（2，－1）＝1×2＋2×（－1）＝0，所以 a·（b·c）＝a·0＝0＝（0，0）. 【变式1】（1）在平行四边形ABCD中，＝（1，2），＝（－3，2），则·＝　　　　. （2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是边AB上的动点，则·的值为　　　　，·的最大值为　　　　. 解析（1）设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝（－1，2）.又＝（1，2），所以·＝（－1，2）·（1，2）＝－1＋4＝3. （2）以点D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则D（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）.设E（1，a）（0≤a≤1），所以·＝（1，a）·（1，0）＝1，·＝（1，a）·（0，1）＝a≤1，所以·的最大值为1. 答案（1）3　（2）1　1 探究二　平面向量的模 　　规律总结　　　　　　　　　　　 （1）用字母表示的向量的模的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. （2）用坐标表示的向量的模的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝. 【例题2】已知向量a＝（cos θ，sin θ），向量b＝（，0），求｜2a－b｜的最大值. 解析由题意可知2a－b＝（2cos θ－，2sin θ），所以｜2a－b｜2＝（2cos θ－）2＋（2sin θ）2＝4cos2θ－4cos θ＋3＋4sin2θ＝7－4cos θ，所以｜2a－b｜＝≤＝2＋，当且仅当cos θ＝－1时，等号成立，所以｜2a－b｜的最大值为2＋. 【变式2】（1）（2023·北京）已知向量a，b满足a＋b＝（2，3），a－b＝（－2，1），则｜a｜2－｜b｜2＝ （　　） A.－2 B.－1 C.0 D.1 （2）已知向量a＝（x，y），b＝（－1，2），且a＋b＝（1，3），则｜a－2b｜＝　　　　. 解析（1）由题意可得｜a